Determine a distância percorrida por uma partícula que se desloca entre os pontos e cuja posição, no instante , é dada por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a distância que uma partícula percorre ao se mover do ponto até o ponto . A posição da partícula em qualquer instante é dada pelas funções:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de cálculo de arc length (comprimento de arco), que nos ajuda a encontrar a distância percorrida por uma partícula ao longo de uma curva definida por funções e .
Passo 2
Primeiro, precisamos entender de onde a partícula está começando e para onde está indo. O ponto inicial é e o final é . Vamos descobrir os valores de que correspondem a esses pontos.
Para :
Sabemos que , então:
Para :
Sabemos que , então:
Então, a partícula se move de até .
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância percorrida usando a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Onde e .
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco: