Determine a distância percorrida por uma partícula que se desloca entre os pontos e cuja posição, no instante , é dada por e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a distância que uma partícula percorre ao se mover do ponto até o ponto . A posição da partícula em qualquer instante é dada pelas funções:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de cálculo de arc length (comprimento de arco), que nos ajuda a encontrar a distância percorrida por uma partícula ao longo de uma curva definida por funções e .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender de onde a partícula está começando e para onde está indo. O ponto inicial é e o final é . Vamos descobrir os valores de que correspondem a esses pontos.
Para :
Sabemos que , então:
Para :
Sabemos que , então:
Então, a partícula se move de até .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância percorrida usando a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
â
Onde e .
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
â
Simplificando dentro da raiz:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
A integral de é , então:
Agora, avaliamos de a :
â

Resposta

A distância percorrida pela partícula é unidades.

Exercícios relacionados

Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(k)
Calcule os limites abaixo.
®
Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região delimitada pelas curvas e é rotacionada em torno:
(a) do eixo .
(b) da reta .
© da reta .