Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(k)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! Temos uma função definida de um jeito diferente quando é igual a 0 e quando não é igual a 0. O que a gente precisa verificar é se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e calcular um limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida nesse ponto.
  2. O limite da função, quando se aproxima desse ponto, existe.
  3. O limite é igual ao valor da função nesse ponto.
No nosso caso, a função está definida em como . Então, a gente precisa calcular o limite de quando tende a 0 e verificar se esse limite é igual a .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
Para resolver esse limite, podemos usar a expansão em série de Taylor para a função em torno de . Sabemos que:
é
Substituindo na expressão do limite:
Portanto,

Passo 4

Agora que temos o limite, para a função ser contínua em , esse limite precisa ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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(h)
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