Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão! Temos uma função definida de um jeito diferente quando
é igual a 0 e quando
não é igual a 0. O que a gente precisa verificar é se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e calcular um limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida nesse ponto.
- O limite da função, quando
se aproxima desse ponto, existe. - O limite é igual ao valor da função nesse ponto.
No nosso caso, a função está definida em
como
. Então, a gente precisa calcular o limite de
quando
tende a 0 e verificar se esse limite é igual a
.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Para resolver esse limite, podemos usar a expansão em série de Taylor para a função
em torno de
. Sabemos que:
Substituindo na expressão do limite:
Portanto,
Passo 4
Agora que temos o limite, para a função ser contínua em
, esse limite precisa ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua em
é
.
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Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(h)
(h)
Um metereologista estabelece que a temperatura
, num dia de inverno é dada por
, onde o tempo
é medido em horas e
corresponde à meia-noite. Ache a temperatura média entre as 6 horas da manhã e o meio dia. Sugestão: utilize o teorema do valor médio para integrais.
Determine a distância percorrida por uma partícula que se desloca entre os pontos
e
cuja posição, no instante
, é dada por
e
.