Determine a distância percorrida por uma partícula que se desloca entre os pontos e cuja posição, no instante , é dada por
. () SIM () NÃO

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a distância que uma partícula percorre indo do ponto até o ponto . A posição da partícula em qualquer instante é dada pelas funções:
Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de curva, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os instantes correspondentes aos pontos e . Para isso, vamos igualar as coordenadas dadas pelas funções e aos pontos.
Para o ponto :
Então, .
Para o ponto :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas das funções e em relação ao tempo para encontrar as componentes da velocidade da partícula.
Derivando :
Derivando :

Passo 4

A distância percorrida pela partícula é dada pelo comprimento da curva, que é calculado pela integral do módulo da velocidade ao longo do intervalo de de até . A fórmula para o comprimento da curva é:
â
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
â

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração:
â

Resposta

A distância percorrida pela partícula é unidades.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
©
(i) Refaça o procedimento feito em sala de aula para mostrar que a desigualdade abaixo vale para todo com : . Calcule o Primeiro Limite Fundamental (ii) .
Faça o que se pede nos seguintes itens: ( ) SIM ( ) NÃO
Escreva em coordenadas esféricas a equação e diga o nome do sólido.
Faça o que se pede nos seguintes itens: ( ) SIM ( ) NÃO
Escreva em coordenadas esférica a equação e diga o nome do sólido.