Determine a distância percorrida por uma partícula que se desloca entre os pontos
e
cuja posição, no instante
, é dada por
. () SIM () NÃO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a distância que uma partícula percorre indo do ponto
até o ponto
. A posição da partícula em qualquer instante
é dada pelas funções:
Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de curva, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os instantes
correspondentes aos pontos
e
. Para isso, vamos igualar as coordenadas dadas pelas funções
e
aos pontos.
Para o ponto
:
Então,
.
Para o ponto
:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas das funções
e
em relação ao tempo
para encontrar as componentes da velocidade da partícula.
Derivando
:
Derivando
:
Passo 4
A distância percorrida pela partícula é dada pelo comprimento da curva, que é calculado pela integral do módulo da velocidade ao longo do intervalo de
de
até
. A fórmula para o comprimento da curva é:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A distância percorrida pela partícula é
unidades.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
©
©
(i) Refaça o procedimento feito em sala de aula para mostrar que a desigualdade abaixo vale para todo
com
:
. Calcule o Primeiro Limite Fundamental (ii)
.
Faça o que se pede nos seguintes itens: ( ) SIM ( ) NÃO
Escreva em coordenadas esféricas a equação e diga o nome do sólido.
Escreva em coordenadas esféricas a equação
Faça o que se pede nos seguintes itens: ( ) SIM ( ) NÃO
Escreva em coordenadas esférica a equação e diga o nome do sólido.
Escreva em coordenadas esférica a equação