Faça o que se pede nos seguintes itens: ( ) SIM ( ) NÃO
Escreva em coordenadas esférica a equação e diga o nome do sólido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a equação de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas. Além disso, vamos identificar qual é o sólido que essa equação representa. Para isso, vamos usar as relações que ligam as coordenadas cartesianas às coordenadas esféricas .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para esféricas. As fórmulas são:
Aqui, é a distância do ponto até a origem, é o ângulo no plano , e é o ângulo entre o eixo e o vetor posição.
Passo 3
Vamos substituir , e na equação dada usando as fórmulas de conversão:
Passo 4
Expandindo os termos:
Perceba que , então:
Passo 5
Dividindo ambos os lados por (assumindo que ):
Podemos reescrever isso como:
Ou seja:
Passo 6
A equação tem soluções quando , onde é inteiro. Portanto:
No contexto das coordenadas esféricas, consideramos , então as soluções são:
Passo 7
Esses valores de correspondem a dois cones com ângulos de abertura e em relação ao eixo . Portanto, a equação em coordenadas esféricas é representada por:
Resposta
A equação em coordenadas esféricas é dada por e . O sólido representado por essa equação é um cone duplo.