Faça o que se pede nos seguintes itens: ( ) SIM ( ) NÃO
Escreva em coordenadas esféricas a equação
e diga o nome do sólido.
Escreva em coordenadas esféricas a equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a equação
em coordenadas esféricas e identificar qual é o sólido que essa equação representa. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Ao contrário das coordenadas cartesianas (
), nas coordenadas esféricas usamos
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo no plano
) e
(o ângulo entre o vetor posição e o eixo
). As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação
usando essas relações. Primeiro, notemos que
. Substituindo as expressões esféricas, temos:
E para
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, observe que
. Então, a equação fica:
Passo 6
Vamos organizar a equação para facilitar a identificação do sólido:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 7
Para simplificar, podemos completar o quadrado ou reconhecer a forma padrão da equação de um cone ou esfera em coordenadas esféricas. Neste caso, a presença do termo
sugere que estamos lidando com um tipo de superfície circular, possivelmente uma esfera.
Passo 8
De fato, essa equação representa uma esfera. Para ver isso, lembramos que a equação padrão de uma esfera em coordenadas esféricas é:
Comparando com nossa equação
, percebemos que a forma se assemelha à equação de uma esfera deslocada.
Passo 9
Resolvendo para
:
Isso é uma equação quadrática em
. Resolvendo usando a fórmula quadrática:
Como
representa uma distância, descartamos a solução negativa:
Resposta
Em coordenadas esféricas, a equação
é
. O sólido representado por essa equação é uma esfera.
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Determine a distância percorrida por uma partícula que se desloca entre os pontos
e
cuja posição, no instante
, é dada por
. () SIM () NÃO
Calcule as seguintes integrais:
©
©
Faça o que se pede nos seguintes itens: ( ) SIM ( ) NÃO
Escreva em coordenadas esférica a equação e diga o nome do sólido.
Escreva em coordenadas esférica a equação
Uma partícula se desloca ao longo da curva
. Calcule a distância percorrida pela partícula para
. ( ) SIM ( ) NÃO