Faça o que se pede nos seguintes itens: ( ) SIM ( ) NÃO
Escreva em coordenadas esféricas a equação e diga o nome do sólido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a equação em coordenadas esféricas e identificar qual é o sólido que essa equação representa. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Ao contrário das coordenadas cartesianas ( ), nas coordenadas esféricas usamos (a distância do ponto à origem), (o ângulo no plano ) e (o ângulo entre o vetor posição e o eixo ). As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação usando essas relações. Primeiro, notemos que . Substituindo as expressões esféricas, temos:
E para :

Passo 4

Substituindo e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, observe que . Então, a equação fica:

Passo 6

Vamos organizar a equação para facilitar a identificação do sólido:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 7

Para simplificar, podemos completar o quadrado ou reconhecer a forma padrão da equação de um cone ou esfera em coordenadas esféricas. Neste caso, a presença do termo sugere que estamos lidando com um tipo de superfície circular, possivelmente uma esfera.

Passo 8

De fato, essa equação representa uma esfera. Para ver isso, lembramos que a equação padrão de uma esfera em coordenadas esféricas é:
Comparando com nossa equação , percebemos que a forma se assemelha à equação de uma esfera deslocada.

Passo 9

Resolvendo para :
Isso é uma equação quadrática em . Resolvendo usando a fórmula quadrática:
Como representa uma distância, descartamos a solução negativa:

Resposta

Em coordenadas esféricas, a equação é . O sólido representado por essa equação é uma esfera.

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Determine a distância percorrida por uma partícula que se desloca entre os pontos e cuja posição, no instante , é dada por
. () SIM () NÃO
Calcule as seguintes integrais:
©
Faça o que se pede nos seguintes itens: ( ) SIM ( ) NÃO
Escreva em coordenadas esférica a equação e diga o nome do sólido.
Uma partícula se desloca ao longo da curva . Calcule a distância percorrida pela partícula para . ( ) SIM ( ) NÃO