Determine a distância entre os planos paralelos -2 x+y+z=0 e 6 x-3 y-3 z-5=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre dois planos paralelos: e . Para isso, vamos usar geometria analítica, que nos ajuda a calcular distâncias no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que os dois planos estejam na mesma “escala” para facilitar a comparação. Observando os coeficientes de 6x - 3y - 3z - 53 = 0 Rightarrow 2x - y - z - 53 = 0 , e , percebemos que o segundo plano pode ser escrito como uma múltipla do primeiro. Dividindo todos os termos do segundo plano por 3, temos:
Então, o segundo plano fica .

Passo 3

Agora que os dois planos estão com os mesmos coeficientes para Distância = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2 , e , podemos usar a fórmula para a distância entre planos paralelos. A fórmula é:
â
Onde , e são os coeficientes de , e nos dois planos, e e são os termos constantes.

Passo 4

Identificando os valores:
  • Para o primeiro plano Distância = | 53 - 0 |raiz(-2)^2 + 1^2 + 1^2 = 53raiz4 + 1 + 1 = 53raiz6 , temos , , e .
  • Para o segundo plano , temos .
Agora, substituímos esses valores na fórmula:
â

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Distância = 53 raiz6 = 5 raiz618 (racionalizando o denominador) â

Resposta

A distância entre os planos é unidades.

Exercícios relacionados