Determine a equação paramétrica da r que passa pelo ponto P(1,2,0) e é paralela à reta de intersecção dos planos 2 x-y-z+1=0 e x+3 y+2 z-4=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto e que é paralela à reta de intersecção dos planos e . Vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da reta de intersecção dos dois planos. Quando dois planos se intersectam, a direção da reta resultante é perpendicular aos vetores normais de cada plano.
Os vetores normais dos planos são dados pelos coeficientes de , e nas equações dos planos:
  • Para o primeiro plano , o vetor normal é .
  • Para o segundo plano , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, para encontrar a direção da reta de intersecção, vamos calcular o produto vetorial desses vetores normais:
d = n1 times n2
d = i & j & k 2 & -1 & -1 1 & 3 & 2
d = i((-1)(2) - (-1)(3)) - j((2)(2) - (-1)(1)) + k((2)(3) - (-1)(1))
d = i(-2 + 3) - j(4 + 1) + k(6 + 1)
d = i(1) - j(5) + k(7)
Então, a direção da reta de intersecção é .

Passo 4

Como queremos uma reta paralela a essa reta de intersecção, a direção de será a mesma, ou seja, .

Passo 5

Agora, usamos o ponto pelo qual a reta x = 1 + t y = 2 - 5t z = 0 + 7t passa, que é , e a direção para escrever a equação paramétrica da reta :
onde é o parâmetro.

Resposta

A equação paramétrica da reta x = 1 + t y = 2 - 5t z = 7t com t in R é:

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