Determine a medida da projeção ortogonal de v=i+2 j+k sobre a reta x=1-2 t, y=t, z=-1-2 t.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear que pede para encontrar a medida da projeção ortogonal do vetor v = i + 2j + k sobre uma reta definida pelas equações paramétricas x = 1 - 2t, y = t, z = -1 - 2t. Para isso, vamos precisar entender conceitos como projeção vetorial e como representar uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar um vetor diretor da reta. As equações paramétricas da reta são:
x = 1 - 2t, y = t, z = -1 - 2t
O vetor diretor d pode ser obtido a partir dos coeficientes de t:
d = lang<= -2,, 1,, -2 rang<=

Passo 3

A projeção ortogonal de v sobre a reta é, na verdade, a projeção de v sobre o vetor diretor d. A fórmula para a projeção de um vetor v sobre d é:
Projdv = ( v cdot dd cdot d ) d
Aqui, “ cdot” representa o produto escalar entre vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar v cdot d:
v cdot d = (1)(-2) + (2)(1) + (1)(-2) = -2 + 2 - 2 = -2

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar d cdot d:
d cdot d = (-2)^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula da projeção:
Projdv = ( -29 ) lang<= -2,, 1,, -2 rang<= = lang<= 49,, -29,, 49 rang<=

Passo 7

Para encontrar a medida (ou comprimento) dessa projeção, usamos a norma do vetor:
|Projdv| = raiz(49)^2 + (-29)^2 + (49)^2 = raiz1681 + 481 + 1681 = raiz3681 = raiz49 = 23

Resposta

A medida da projeção ortogonal de v sobre a reta é 23 unidades.

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