Determine uma equação do plano que contém o ponto P(2,0,3) e a reta x=-1+t, y=t, z=-4+2 t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma equação de um plano que passa pelo ponto x = -1 + t, y = t, z = -4 + 2t e também contém a reta dada pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e produto vetorial, para achar uma equação que descreva esse plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um vetor que está na reta. Olhando as equações paramétricas, podemos ver que o vetor diretor da reta é . Esse vetor nos mostra a direção em que a reta segue.

Passo 3

Agora, precisamos de outro vetor que também esteja no plano. Para isso, vamos pegar um ponto na reta e o ponto u = P - Q = (2 - (-1), 0 - 0, 3 - (-4)) = (3, 0, 7) . Quando na reta, obtemos o ponto . Então, o vetor que vai de para é:
Então, temos dois vetores no plano: e .

Passo 4

Para encontrar a equação do plano, precisamos do vetor normal a ele, que é perpendicular a ambos os vetores n = v times u = i & j & k 1 & 1 & 2 3 & 0 & 7 = i(1 cdot 7 - 2 cdot 0) - j(1 cdot 7 - 2 cdot 3) + k(1 cdot 0 - 1 cdot 3) e n = i(7) - j(7 - 6) + k(-3) = (7, -1, -3) . Podemos encontrar esse vetor normal usando o produto vetorial:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Agora que temos o vetor normal , podemos usar a fórmula da equação do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e é o ponto pelo qual o plano passa, que é .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
7(x - 2) -1(y - 0) -3(z - 3) = 0
Expandindo:
7x - 14 - y - 3z + 9 = 0
Simplificando:
7x - y - 3z -5 = 0

Resposta

A equação do plano é:
7x - y - 3z - 5 = 0

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