Determine A distância do ponto P=(-4,6,2) ao plano pi: 2 x-3 y-4 z=1.

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar a distância do ponto até o plano . Vamos usar geometria analítica para resolver isso. Precisamos saber a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano e entender como aplicar ela com os valores que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância d = |a x0 + b y0 + c z0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 de um ponto até um plano definido por . A fórmula é:
Aqui, , , e são os coeficientes das variáveis no plano, e é o termo constante.

Passo 3

Vamos identificar os valores na nossa equação do plano 2x - 3y - 4z - 1 = 0 . Primeiro, vamos reescrever a equação para encaixar na forma padrão :
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores e as coordenadas do ponto d = |2(-4) + (-3)(6) + (-4)(2) - 1|raiz2^2 + (-3)^2 + (-4)^2 na fórmula da distância:

Passo 5

Vamos calcular o numerador primeiro:
2(-4) = -8
-3 times 6 = -18
-4 times 2 = -8
Somando tudo junto:
-8 - 18 - 8 - 1 = -35
O valor absoluto fica:
| -35 | = 35

Passo 6

Agora, vamos calcular o denominador:
raiz2^2 + (-3)^2 + (-4)^2 = raiz4 + 9 + 16 = raiz29

Passo 7

Finalmente, substituímos os valores calculados na fórmula da distância:
d = 35raiz29
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
d = 35raiz2929

Resposta

A distância do ponto ao plano é unidades, ou, racionalizando, unidades.

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