Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a distância do ponto até a reta definida pelas equações . Vamos usar conceitos de geometria vetorial para isso, especialmente a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da reta de forma paramétrica para facilitar. Podemos escolher um parâmetro e expressar as coordenadas , e em função de :
Aqui, o ponto é um ponto qualquer da reta, e o vetor direção da reta é .
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da distância entre um ponto d = |v times AP||v| e uma reta AP = P - A = (1 - 3, -2 - (-1), 1 - (-1)) = (-2, -1, 2) no espaço:
Onde:
é o vetor direção da reta.
é o vetor que vai do ponto na reta até o ponto .
Vamos calcular :
Passo 4
Em seguida, calculamos o produto vetorial v times AP = i & j & k 1 & 3 & 2 -2 & -1 & 2 = i(3 cdot 2 - 2 cdot (-1)) - j(1 cdot 2 - 2 cdot (-2)) + k(1 cdot (-1) - 3 cdot (-2)) :
= i(6 + 2) - j(2 + 4) + k(-1 + 6)
= 8i - 6j + 5k
Então, .
Passo 5
Agora, calculamos a magnitude do produto vetorial e a magnitude do vetor direção: