Determine A distância do ponto P=(1,-2,1) à reta r: x-3=y+13=z+12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a distância do ponto até a reta definida pelas equações . Vamos usar conceitos de geometria vetorial para isso, especialmente a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da reta de forma paramétrica para facilitar. Podemos escolher um parâmetro x = 3 + t y = -1 + 3t z = -1 + 2t e expressar as coordenadas , e em função de :
Aqui, o ponto é um ponto qualquer da reta, e o vetor direção da reta é .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da distância entre um ponto d = |v times AP||v| e uma reta AP = P - A = (1 - 3, -2 - (-1), 1 - (-1)) = (-2, -1, 2) no espaço:
Onde:
  • é o vetor direção da reta.
  • é o vetor que vai do ponto na reta até o ponto .
Vamos calcular :

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto vetorial v times AP = i & j & k 1 & 3 & 2 -2 & -1 & 2 = i(3 cdot 2 - 2 cdot (-1)) - j(1 cdot 2 - 2 cdot (-2)) + k(1 cdot (-1) - 3 cdot (-2)) :
= i(6 + 2) - j(2 + 4) + k(-1 + 6)
= 8i - 6j + 5k
Então, .

Passo 5

Agora, calculamos a magnitude do produto vetorial e a magnitude do vetor direção:
|v times AP| = raiz8^2 + (-6)^2 + 5^2 = raiz64 + 36 + 25 = raiz125 = 5raiz5
|v| = raiz1^2 + 3^2 + 2^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 5raiz5raiz14 = 5raiz7014

Resposta

A distância do ponto à reta é .

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