Determine as equações vetorial e paramétricas da reta r que passa pelos pontos A e B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as equações vetorial e paramétricas da reta que passa pelos pontos e . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, mais especificamente com equações de retas no espaço ou no plano. Para isso, vamos precisar conhecer as coordenadas dos pontos e para determinar a direção da reta e seu posicionamento.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que os pontos e tenham as seguintes coordenadas:
Essas coordenadas são essenciais para identificar a direção da reta.

Passo 3

Agora, para encontrar a equação vetorial da reta AB = lang<= x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1 rang<= , precisamos de um ponto por onde a reta passa e um vetor de direção. Vamos usar o ponto como ponto de referência e construir o vetor diretor .
O vetor é dado por:

Passo 4

Com o vetor diretor r = A + t cdot AB e o ponto , a equação vetorial da reta fica assim:
Onde é um parâmetro real que varia ao longo da reta.

Passo 5

Para encontrar as equações paramétricas da reta x = x1 + t(x2 - x1) y = y1 + t(y2 - y1) z = z1 + t(z2 - z1) , vamos separar a equação vetorial nas suas componentes , e . Isso nos dá:
Essas equações descrevem como cada coordenada varia em função do parâmetro .

Resposta

As equações vetorial e paramétricas da reta r = A + t cdot AB que passa pelos pontos x = x1 + t(x2 - x1) y = y1 + t(y2 - y1) z = z1 + t(z2 - z1) e são:
Equação Vetorial:
Equações Paramétricas:
Onde é um parâmetro real.

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