Uma elipse tem focos nos pontos
e
, e excentricidade
.
Determine a equação padrão.
Determine a equação padrão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma elipse cujos focos estão nos pontos
e
, e a excentricidade
é igual a
. Nosso objetivo é encontrar a equação padrão dessa elipse. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre elipses, como o centro, os parâmetros
e
, e como a excentricidade se relaciona com esses parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Os focos estão em
e
. Para encontrar o ponto médio, usamos a fórmula:
Aplicando os valores:
Então, o centro da elipse é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que é
, onde
é a distância do centro a cada foco. As coordenadas dos focos são
e
. A distância vertical entre eles é:
Então,
Passo 4
Sabemos que a excentricidade
está relacionada com
(o semi-eixo maior) e
pela fórmula:
Dado que
, podemos escrever:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
(o semi-eixo menor) usando a relação:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 6
Com todos os parâmetros encontrados (
,
,
, e
), podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos têm a mesma coordenada
, a elipse está alinhada verticalmente. A equação padrão para uma elipse vertical é:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação padrão da elipse é:
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ao plano
.
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e
.
Determine A distância do ponto
à reta
Uma parábola tem vértice no ponto
e foco no ponto
.
Determine a equação padrão da parábola.
Determine a equação padrão da parábola.