Uma elipse tem focos nos pontos (3,-7) e (3,13), e excentricidade e=1 / 2.
Determine a equação padrão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma elipse cujos focos estão nos pontos e , e a excentricidade é igual a . Nosso objetivo é encontrar a equação padrão dessa elipse. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre elipses, como o centro, os parâmetros e , e como a excentricidade se relaciona com esses parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Os focos estão em C( x1 + x22, y1 + y22 ) e C( 3 + 32, -7 + 132 ) = C(3, 3) . Para encontrar o ponto médio, usamos a fórmula:
Aplicando os valores:
Então, o centro da elipse é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que é 2c = 13 - (-7) = 20 , onde c = 202 = 10 é a distância do centro a cada foco. As coordenadas dos focos são e . A distância vertical entre eles é:
Então,

Passo 4

Sabemos que a excentricidade e = ca está relacionada com 12 = 10a implies a = 20 (o semi-eixo maior) e pela fórmula:
Dado que , podemos escrever:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a^2 = b^2 + c^2 (o semi-eixo menor) usando a relação:
20^2 = b^2 + 10^2 implies 400 = b^2 + 100 implies b^2 = 300 implies b = raiz300 = 10raiz3
Substituindo os valores que já temos:

Passo 6

Com todos os parâmetros encontrados ( (y - k)^2a^2 + (x - h)^2b^2 = 1 , (y - 3)^2400 + (x - 3)^2300 = 1 , , e ), podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos têm a mesma coordenada , a elipse está alinhada verticalmente. A equação padrão para uma elipse vertical é:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação padrão da elipse é:
(y - 3)^2400 + (x - 3)^2300 = 1

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