Seja A=[lll1 & 2 & 3 2 & 5 & 3 1 & 0 & 8].
a) Calcule a inversa de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de ordem 3x3 e precisa encontrar a inversa dela, ou seja, uma matriz que, quando multiplicada por , dá a matriz identidade. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes, matrizes adjuntas e como calcular a inversa usando esses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante de A = 1 & 2 & 3 2 & 5 & 3 1 & 0 & 8 . O determinante é um número que nos ajuda a saber se a matriz tem inversa (se o determinante for diferente de zero). A matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = 1(5 cdot 8 - 3 cdot 0) - 2(2 cdot 8 - 3 cdot 1) + 3(2 cdot 0 - 5 cdot 1)
Onde:
det(A) = 1(40 - 0) - 2(16 - 3) + 3(0 - 5) = 40 - 2(13) + 3(-5) = 40 - 26 - 15 = -1
Substituindo os valores de :
Então, .

Passo 3

Como o determinante é diferente de zero ( Cij = (-1)^i+j cdot Mij ), a matriz 5 & 3 0 & 8 tem inversa. Agora, vamos calcular a matriz adjunta de 2 & 3 1 & 8. A adjunta é a matriz dos cofatores transposta.
Primeiro, vamos encontrar os cofatores de cada elemento de 2 & 5 1 & 0.
Para um elemento 2 & 3 0 & 8, o cofator 1 & 3 1 & 8 é:
1 & 2 1 & 0
Onde 2 & 3 5 & 3 é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
  • 1 & 3 2 & 3
  • 1 & 2 2 & 5
  • Cof(A) = 40 & -13 & -5 -16 & 5 & 2 -9 & 3 & 1
  • Adj(A) = 40 & -16 & -9 -13 & 5 & 3 -5 & 2 & 1
Agora, a matriz dos cofatores é:
A adjunta de , , é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 4

Agora que temos a adjunta e o determinante, podemos encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) usando a fórmula:
A^-1 = 1-1 cdot 40 & -16 & -9 -13 & 5 & 3 -5 & 2 & 1 = -40 & 16 & 9 13 & -5 & -3 5 & -2 & -1
Sabemos que , então:

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = -40 & 16 & 9 13 & -5 & -3 5 & -2 & -1 é:

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