Determine a distância entre o ponto P(1,-2,3) e o plano 2 x-2 y+z=4.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a distância entre o ponto e o plano definido pela equação . Para isso, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano na geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do plano na forma padrão 2x - 2y + z - 4 = 0 . Nossa equação fica:
Aqui, os coeficientes são:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para calcular a distância d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 de um ponto a um plano :

Passo 4

Vamos identificar os valores que vamos usar:
  • Ponto : , ,
  • Plano : , , ,

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula:
d = |2(1) + (-2)(-2) + 1(3) - 4|raiz2^2 + (-2)^2 + 1^2
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 6

Calculando o numerador:
|2 cdot 1 + (-2) cdot (-2) + 1 cdot 3 - 4| = |2 + 4 + 3 - 4| = |5| = 5

Passo 7

Calculando o denominador:
raiz2^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3

Passo 8

Agora, substituindo de volta na fórmula da distância:
d = 53

Resposta

A distância entre o ponto e o plano é unidades.

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