Suponha que e sejam vetores com e . Seja , e assim por diante. Calcule .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores, e , com magnitudes de 2 e 3, respectivamente, e o produto interno deles é 5. Vamos trabalhar com projeções desses vetores umas sobre as outras, criando uma sequência infinita de vetores . Nosso objetivo é calcular a soma das magnitudes desses vetores ao longo dessa sequência infinita. Para isso, vamos precisar entender como funciona a projeção de um vetor sobre outro e como as magnitudes dessas projeções se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a projeção de um vetor sobre outro. A projeção de um vetor sobre um vetor é dada pela fórmula:
Isso nos dá um vetor que está na mesma direção de , mas com uma magnitude ajustada de acordo com o alinhamento entre e .

Passo 3

Vamos calcular . Usando a fórmula da projeção:
Sabemos que e , então . Substituindo:
A magnitude de é então:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Aplicando a fórmula da projeção novamente:
Calculando :
E . Substituindo:
A magnitude de é:

Passo 5

Observamos que cada nova magnitude está sendo multiplicada por um fator constante. Vamos calcular esse fator usando e :
Esse fator, , se repete para cada passo seguinte na sequência de projeções. Portanto, a sequência das magnitudes forma uma progressão geométrica onde cada termo é multiplicado pelo termo anterior.

Passo 6

Para encontrar a soma infinita dessas magnitudes, usamos a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita:
Onde é o primeiro termo da sequência e é a razão. Aqui, e .
Substituindo na fórmula:

Resposta

A soma infinita das magnitudes dos vetores é 12.

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Determine a distância entre o ponto e o plano .
Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
65. b) perpendicular à reta e que passa pelo ponto .
Encontre a intersecção da reta com os planos e .
Determine a posição relativa das retas e .
57.