Suponha que e sejam vetores com e . Seja , e assim por diante. Calcule .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores, e , com magnitudes de 2 e 3, respectivamente, e o produto interno deles é 5. Vamos trabalhar com projeções desses vetores umas sobre as outras, criando uma sequência infinita de vetores . Nosso objetivo é calcular a soma das magnitudes desses vetores ao longo dessa sequência infinita. Para isso, vamos precisar entender como funciona a projeção de um vetor sobre outro e como as magnitudes dessas projeções se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a projeção de um vetor sobre outro. A projeção de um vetor sobre um vetor é dada pela fórmula:
Isso nos dá um vetor que está na mesma direção de , mas com uma magnitude ajustada de acordo com o alinhamento entre e .
Passo 3
Vamos calcular . Usando a fórmula da projeção:
Sabemos que e , então . Substituindo:
A magnitude de é então:
Passo 4
Agora, vamos calcular . Aplicando a fórmula da projeção novamente:
Calculando :
E . Substituindo:
A magnitude de é:
Passo 5
Observamos que cada nova magnitude está sendo multiplicada por um fator constante. Vamos calcular esse fator usando e :
Esse fator, , se repete para cada passo seguinte na sequência de projeções. Portanto, a sequência das magnitudes forma uma progressão geométrica onde cada termo é multiplicado pelo termo anterior.
Passo 6
Para encontrar a soma infinita dessas magnitudes, usamos a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita:
Onde é o primeiro termo da sequência e é a razão. Aqui, e .