Suponha que e sejam vetores com e . Seja , e assim por diante. Calcule .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores, e , com magnitudes de 2 e 3, respectivamente, e o produto interno deles é 5. Vamos trabalhar com projeções desses vetores umas sobre as outras, criando uma sequência infinita de vetores . Nosso objetivo é calcular a soma das magnitudes desses vetores ao longo dessa sequência infinita. Para isso, vamos precisar entender como funciona a projeção de um vetor sobre outro e como as magnitudes dessas projeções se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a projeção de um vetor sobre outro. A projeção de um vetor sobre um vetor é dada pela fórmula:
Isso nos dá um vetor que está na mesma direção de , mas com uma magnitude ajustada de acordo com o alinhamento entre e .
Passo 3
Vamos calcular . Usando a fórmula da projeção:
Sabemos que e , então . Substituindo:
A magnitude de é então:
Passo 4
Agora, vamos calcular v4 = projv2 v3. Aplicando a fórmula da projeção novamente:
Observamos que cada nova magnitude está sendo multiplicada por um fator constante. Vamos calcular esse fator usando |v3| e |v4|:
|v4||v3| = 251252 = 2512 times 25 = 56
Esse fator, 56, se repete para cada passo seguinte na sequência de projeções. Portanto, a sequência das magnitudes forma uma progressão geométrica onde cada termo é 56 multiplicado pelo termo anterior.
Passo 6
Para encontrar a soma infinita dessas magnitudes, usamos a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita:
S = a1 - r
Onde a é o primeiro termo da sequência e r é a razão. Aqui, a = |v1| = 2 e r = 56.