Suponha que v1 e v2 sejam vetores com |v1|=2,|v2|=3 e v1 cdot v2=5. Seja v3=projv1 v2, v4=projv2 v3, v5=projv3 v4 e assim por diante. Calcule sumn=1^infty|vn|.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores, v1 e v2, com magnitudes de 2 e 3, respectivamente, e o produto interno deles é 5. Vamos trabalhar com projeções desses vetores umas sobre as outras, criando uma sequência infinita de vetores v3, v4, v5, dots. Nosso objetivo é calcular a soma das magnitudes desses vetores ao longo dessa sequência infinita. Para isso, vamos precisar entender como funciona a projeção de um vetor sobre outro e como as magnitudes dessas projeções se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a projeção de um vetor sobre outro. A projeção de um vetor a sobre um vetor b é dada pela fórmula:
projb a = ( a cdot bb cdot b ) b
Isso nos dá um vetor que está na mesma direção de b, mas com uma magnitude ajustada de acordo com o alinhamento entre a e b.

Passo 3

Vamos calcular v3 = projv1 v2. Usando a fórmula da projeção:
v3 = ( v2 cdot v1v1 cdot v1 ) v1
Sabemos que v1 cdot v2 = 5 e |v1| = 2, então v1 cdot v1 = 2^2 = 4. Substituindo:
v3 = ( 54 ) v1
A magnitude de v3 é então:
|v3| = | 54 | |v1| = 54 times 2 = 52

Passo 4

Agora, vamos calcular v4 = projv2 v3. Aplicando a fórmula da projeção novamente:
v4 = ( v3 cdot v2v2 cdot v2 ) v2
Calculando v3 cdot v2:
v3 cdot v2 = ( 54 v1 ) cdot v2 = 54 (v1 cdot v2) = 54 times 5 = 254
E v2 cdot v2 = 3^2 = 9. Substituindo:
v4 = ( 254 times 9 ) v2 = ( 2536 ) v2
A magnitude de v4 é:
|v4| = | 2536 | |v2| = 2536 times 3 = 2512

Passo 5

Observamos que cada nova magnitude está sendo multiplicada por um fator constante. Vamos calcular esse fator usando |v3| e |v4|:
|v4||v3| = 251252 = 2512 times 25 = 56
Esse fator, 56, se repete para cada passo seguinte na sequência de projeções. Portanto, a sequência das magnitudes forma uma progressão geométrica onde cada termo é 56 multiplicado pelo termo anterior.

Passo 6

Para encontrar a soma infinita dessas magnitudes, usamos a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita:
S = a1 - r
Onde a é o primeiro termo da sequência e r é a razão. Aqui, a = |v1| = 2 e r = 56.
Substituindo na fórmula:
S = 21 - 56 = 216 = 2 times 6 = 12

Resposta

A soma infinita das magnitudes dos vetores é 12.

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