Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
65. b) perpendicular à reta
e que passa pelo ponto
.
65. b) perpendicular à reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrarmos a equação de um plano que é perpendicular à uma reta específica e que passa por um ponto dado. Para isso, vamos precisar entender como relacionar a reta com o plano usando vetores e a equação geral do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a reta que nos foi dada. Ela está escrita nas formas paramétricas:
O vetor diretor dessa reta é o vetor que define a direção dela, que é dado pelos coeficientes de
. Então, o vetor diretor
é:
Passo 3
Como o plano precisa ser perpendicular à essa reta, o vetor normal
do plano será paralelo ao vetor diretor da reta. Portanto, podemos usar o mesmo vetor diretor para o vetor normal do plano:
Passo 4
Agora, vamos usar a equação geral de um plano, que é:
Onde
é o ponto pelo qual o plano passa, que no caso é
, e
é o vetor normal que já encontramos.
Passo 5
Substituindo os valores na equação do plano:
Vamos simplificar essa expressão:
Podemos deixar a equação mais organizada:
Resposta
A equação do plano é:
Exercícios relacionados
Determine a posição relativa das retas
e
.
59.
59.
Em que ponto a reta
intersecta
b) o eixo
b) o eixo
Determine a distância entre o ponto
e o plano
.
Suponha que
e
sejam vetores com
e
. Seja
,
e assim por diante. Calcule
.