Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
65. b) perpendicular à reta e que passa pelo ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrarmos a equação de um plano que é perpendicular à uma reta específica e que passa por um ponto dado. Para isso, vamos precisar entender como relacionar a reta com o plano usando vetores e a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a reta que nos foi dada. Ela está escrita nas formas paramétricas:
O vetor diretor dessa reta é o vetor que define a direção dela, que é dado pelos coeficientes de . Então, o vetor diretor é:

Passo 3

Como o plano precisa ser perpendicular à essa reta, o vetor normal do plano será paralelo ao vetor diretor da reta. Portanto, podemos usar o mesmo vetor diretor para o vetor normal do plano:

Passo 4

Agora, vamos usar a equação geral de um plano, que é:
Onde é o ponto pelo qual o plano passa, que no caso é , e é o vetor normal que já encontramos.

Passo 5

Substituindo os valores na equação do plano:
Vamos simplificar essa expressão:
Podemos deixar a equação mais organizada:

Resposta

A equação do plano é:

Exercícios relacionados

Determine a posição relativa das retas e .
59.
Em que ponto a reta intersecta
b) o eixo
Determine a distância entre o ponto e o plano .
Suponha que e sejam vetores com e . Seja , e assim por diante. Calcule .