Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
65. b) perpendicular à reta x=1-3 t, y=5+2 t, z=-t e que passa pelo ponto P(4,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrarmos a equação de um plano que é perpendicular à uma reta específica e que passa por um ponto dado. Para isso, vamos precisar entender como relacionar a reta com o plano usando vetores e a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a reta que nos foi dada. Ela está escrita nas formas paramétricas:
x = 1 - 3t, y = 5 + 2t, z = -t
O vetor diretor dessa reta é o vetor que define a direção dela, que é dado pelos coeficientes de v = lang<= -3, , 2, , -1 rang<= . Então, o vetor diretor é:

Passo 3

Como o plano precisa ser perpendicular à essa reta, o vetor normal n = lang<= -3, , 2, , -1 rang<= do plano será paralelo ao vetor diretor da reta. Portanto, podemos usar o mesmo vetor diretor para o vetor normal do plano:

Passo 4

Agora, vamos usar a equação geral de um plano, que é:
nx (x - x0) + ny (y - y0) + nz (z - z0) = 0
Onde é o ponto pelo qual o plano passa, que no caso é , e é o vetor normal que já encontramos.

Passo 5

Substituindo os valores na equação do plano:
-3(x - 4) + 2(y + 1) -1(z - 2) = 0
Vamos simplificar essa expressão:
-3x + 12 + 2y + 2 - z + 2 = 0
-3x + 2y - z + 16 = 0
Podemos deixar a equação mais organizada:
3x - 2y + z = 16

Resposta

A equação do plano é:
3x - 2y + z = 16

Exercícios relacionados