Determine a posição relativa das retas r1 e r2.
59. r1: x=2+t, y=-3-t, z=t
r2: x=12(3 s+1), y=s-1, z=13 s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a posição relativa das retas e . A gente vai usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente sobre retas. Precisamos identificar se as retas são paralelas, se elas se cruzam (intersectam) ou se são retas que não se encontram e nem são paralelas, chamadas de retas “escaras”. Para isso, vamos analisar as equações paramétricas das retas e comparar seus vetores diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. A reta r1: x = 2 + t y = -3 - t z = t está descrita por:
v1 = 1 -1 1
Aqui, o vetor diretor é dado pelos coeficientes de :

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta r2: x = 12(3s + 1) y = s - 1 z = 13s :
x = 32s + 12 y = s - 1 z = 13s
Simplificando as equações, temos:
v2 = 32 1 13
O vetor diretor dessa reta é:

Passo 4

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Para isso, os vetores diretores devem ser múltiplos um do outro. Vamos ver se existe um escalar v2 = k cdot v1 tal que:
32 = k cdot 1 Rightarrow k = 32
Comparando componentes:
1 = k cdot (-1) Rightarrow k = -1
13 = k cdot 1 Rightarrow k = 13
Como não é o mesmo nas três equações, as retas não são paralelas.

Passo 5

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se intersectam. Para isso, precisamos encontrar valores de 2 + t = 32s + 12 (1) e -3 - t = s - 1 (2) que satisfaçam simultaneamente as equações das duas retas.
Igualando as componentes:
t = 13s (3)
t = 13s
-3 - 13s = s - 1
Vamos resolver o sistema. Da equação (3):
-9 - s = 3s - 3
Substituindo -9 + 9 - s + s = 3s + s - 3 + 9 Rightarrow 0 = 4s + 6 na equação (2):
4s = -6 Rightarrow s = -32
Multiplicando tudo por 3 para eliminar o denominador:
t = 13 cdot (-32) = -12
Somando 2 + (-12) = 32 cdot (-32) + 12 e 9 dos dois lados:
32 = -94 + 12 = -94 + 24 = -74
Substituindo na equação (3):
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a equação (1):
Isso não é verdadeiro, então não existe interseção.

Resposta

As retas e são retas escaras, ou seja, não são paralelas e não se intersectam.

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