Determine
(a) A distância do ponto P=(6,-5,3) à reta r : x-23=y-3-4=z.
(b) A distância do ponto P=(3,-7,-5) ao eixo z.
© A distância do ponto P=(2,-4,0) à reta r:(-3,4,-6)+t(5,0,-3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três questões aqui que envolvem calcular a distância de um ponto específico até uma reta ou ao eixo no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de geometria vetorial que nos ajudam a encontrar essas distâncias. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Queremos encontrar a distância do ponto d = | AP times u || u | até a reta i & j & k 4 & -8 & 3 3 & -4 & 1 definida pelas equações paramétricas .
Primeiro, vamos expressar a reta de forma vetorial. Podemos escrever como , onde é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.
Agora, para encontrar a distância de até , usamos a fórmula:
onde:
  • é o vetor que vai do ponto da reta ao ponto ,
  • é o vetor diretor da reta,
  • representa o produto vetorial,
  • representa o módulo do vetor.
Vamos calcular cada parte:
  1. Produto vetorial
  2. Módulo do produto vetorial:
  3. Módulo do vetor diretor:
  4. Finalmente, a distância:

Passo 3

Parte (b): Agora, queremos a distância do ponto d = raizx^2 + y^2 ao eixo d = raiz3^2 + (-7)^2 = raiz9 + 49 = raiz58 .
O eixo é representado por todos os pontos onde e . A distância de um ponto qualquer ao eixo é simplesmente a distância no plano até a origem, já que o eixo passa pela origem.
A fórmula para essa distância é:
Aplicando os valores:

Passo 4

Parte ©: Finalmente, queremos a distância do ponto d = | AP times u || u | até a reta i & j & k 5 & -8 & 6 5 & 0 & -3 definida por .
Vamos usar a mesma fórmula da parte (a):
Onde:
  • Produto vetorial
  • Módulo do produto vetorial:
  • Módulo do vetor diretor:
  • Distância:

Resposta

(a) A distância é unidades.
(b) A distância é unidades.
© A distância é unidades.

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