Beleza, vamos lá! A gente tem três questões aqui que envolvem calcular a distância de um ponto específico até uma reta ou ao eixo no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de geometria vetorial que nos ajudam a encontrar essas distâncias. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Queremos encontrar a distância do ponto até a reta definida pelas equações paramétricas .
Primeiro, vamos expressar a reta de forma vetorial. Podemos escrever como , onde é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.
Agora, para encontrar a distância de até , usamos a fórmula:
onde:
é o vetor que vai do ponto da reta ao ponto ,
é o vetor diretor da reta,
representa o produto vetorial,
representa o módulo do vetor.
Vamos calcular cada parte:
Produto vetorial
Módulo do produto vetorial:
Módulo do vetor diretor:
Finalmente, a distância:
Passo 3
Parte (b): Agora, queremos a distância do ponto d = raizx^2 + y^2 ao eixo d = raiz3^2 + (-7)^2 = raiz9 + 49 = raiz58 .
O eixo é representado por todos os pontos onde e . A distância de um ponto qualquer ao eixo é simplesmente a distância no plano até a origem, já que o eixo passa pela origem.