Obtenha as equações das hipérboles, dados: 16 x^2+25 y^2=400

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para obter as equações das hipérboles a partir da equação dada: . Estamos lidando com geometria analítica, especificamente com cônicas, que incluem elipses e hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar e manipular as equações dessas figuras geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação que temos: . Essa equação se assemelha à forma padrão de uma elipse, que é . Aqui, e são os semi-eixos da elipse.

Passo 3

Para transformar a equação dada na forma padrão, vamos dividir ambos os lados da equação por 400:
16x^2400 + 25y^2400 = 400400
Simplificando, temos:
x^225 + y^216 = 1
Agora, a equação está na forma padrão de uma elipse.

Passo 4

A hipérbole tem uma forma padrão semelhante, mas com um sinal negativo entre os termos. A forma padrão da hipérbole é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1 ou y^2b^2 - x^2a^2 = 1
Isso representa uma hipérbole que se abre horizontal ou verticalmente.

Passo 5

Para obter a equação da hipérbole a partir da equação da elipse que temos, trocamos o sinal positivo entre os termos de 16x^2 - 25y^2 = 400 e por um sinal negativo. Então, a equação da hipérbole será:

Passo 6

Vamos colocar essa equação na forma padrão da hipérbole dividindo ambos os lados por 400:
16x^2400 - 25y^2400 = 400400
Simplificando, ficamos com:
x^225 - y^216 = 1

Resposta

A equação da hipérbole obtida é:
x^225 - y^216 = 1

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