Obtenha as equações das hipérboles, dados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para obter as equações das hipérboles a partir da equação dada:
. Estamos lidando com geometria analítica, especificamente com cônicas, que incluem elipses e hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar e manipular as equações dessas figuras geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação que temos:
. Essa equação se assemelha à forma padrão de uma elipse, que é
. Aqui,
e
são os semi-eixos da elipse.
Passo 3
Para transformar a equação dada na forma padrão, vamos dividir ambos os lados da equação por 400:
Simplificando, temos:
Agora, a equação está na forma padrão de uma elipse.
Passo 4
A hipérbole tem uma forma padrão semelhante, mas com um sinal negativo entre os termos. A forma padrão da hipérbole é:
Isso representa uma hipérbole que se abre horizontal ou verticalmente.
Passo 5
Para obter a equação da hipérbole a partir da equação da elipse que temos, trocamos o sinal positivo entre os termos de
e
por um sinal negativo. Então, a equação da hipérbole será:
Passo 6
Vamos colocar essa equação na forma padrão da hipérbole dividindo ambos os lados por 400:
Simplificando, ficamos com:
Resposta
A equação da hipérbole obtida é: