Determine a distância do ponto P0 à reta r nos casos:
P0(-3,5) e r: y=5 x-3

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica onde precisamos encontrar a distância entre o ponto P0(-3,5) e a reta definida pela equação r: y = 5x - 3. Para isso, vamos usar a fórmula da distância de um ponto até uma reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a equação da reta na forma padrão: Ax + By + C = 0. A equação dada é y = 5x - 3. Vamos reorganizá-la:
5x - y - 3 = 0
Aqui, identificamos que A = 5, B = -1 e C = -3.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da distância ( d) de um ponto (x0, y0) até a reta Ax + By + C = 0:
d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2
Essa fórmula calcula a menor distância entre o ponto e a reta.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula. O ponto é P0(-3,5), então x0 = -3 e y0 = 5. Os coeficientes da reta são A = 5, B = -1 e C = -3.
d = |5*(-3) + (-1)*5 + (-3)|raiz5^2 + (-1)^2

Passo 5

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
5*(-3) + (-1)*5 + (-3) = -15 -5 -3 = -23
O valor absoluto de -23 é 23.
Denominador:
raiz5^2 + (-1)^2 = raiz25 + 1 = raiz26

Passo 6

Agora, substituímos de volta na fórmula:
d = 23raiz26
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por raiz26:
d = 23 raiz2626 approx 4,53

Resposta

A distância do ponto P0(-3,5) até a reta r é aproximadamente 4,53 unidades.

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