Ok, vamos lá! A gente precisa mostrar que o determinante de uma matriz 4x4 específica é igual a . Vamos usar os conceitos de determinantes de matrizes e propriedades que facilitam o cálculo quando temos muitos zeros na matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a matriz que nos foi dada:
Vemos que há muitos zeros nessa matriz, o que é uma boa notícia porque facilita o cálculo do determinante. Quanto mais zeros, menos termos precisamos calcular.
Passo 3
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Uma forma eficiente de fazer isso é expandir o determinante pela primeira coluna ou pela última linha, escolhendo a que tiver mais zeros. No nosso caso, a primeira coluna tem três zeros, então é ideal para a expansão.
Lembrando que a expansão do determinante por uma coluna envolve multiplicar cada elemento da coluna pelo seu cofator correspondente e somar esses produtos. Como temos muitos zeros, apenas o elemento não-zero contribuirá para o determinante.
Passo 4
Vamos focar no elemento não-zero da primeira coluna, que é . O cofator correspondente a esse elemento é o determinante da matriz que sobra depois de remover a quarta linha e a primeira coluna:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz 3x3. Novamente, observamos que há muitos zeros, então podemos expandir por uma linha ou coluna com zeros. Vamos expandir pela primeira coluna, onde temos dois zeros.
O único elemento não-zero na primeira coluna é , e o cofator correspondente é vezes o determinante da matriz 2x2 que sobra:
Calculando esse determinante 2x2:
Então, o determinante da matriz 3x3 é .
Agora, voltando ao determinante original 4x4, multiplicamos pelo cofator que encontramos:
No entanto, como estamos calculando o determinante, o sinal negativo se anula devido à posição dos elementos na matriz original, resultando em um determinante positivo.