Mostre que
det[cccc 0 & 0 & 0 & a14 0 & 0 & a23 & a24 0 & a32 & a33 & a34 a41 & a42 & a43 & a44 ]=a14 a23 a32 a41

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa mostrar que o determinante de uma matriz 4x4 específica é igual a a14 a23 a32 a41. Vamos usar os conceitos de determinantes de matrizes e propriedades que facilitam o cálculo quando temos muitos zeros na matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz que nos foi dada:
0 & 0 & 0 & a14 0 & 0 & a23 & a24 0 & a32 & a33 & a34 a41 & a42 & a43 & a44
Vemos que há muitos zeros nessa matriz, o que é uma boa notícia porque facilita o cálculo do determinante. Quanto mais zeros, menos termos precisamos calcular.

Passo 3

Vamos calcular o determinante dessa matriz. Uma forma eficiente de fazer isso é expandir o determinante pela primeira coluna ou pela última linha, escolhendo a que tiver mais zeros. No nosso caso, a primeira coluna tem três zeros, então é ideal para a expansão.
Lembrando que a expansão do determinante por uma coluna envolve multiplicar cada elemento da coluna pelo seu cofator correspondente e somar esses produtos. Como temos muitos zeros, apenas o elemento não-zero contribuirá para o determinante.

Passo 4

Vamos focar no elemento não-zero da primeira coluna, que é a41. O cofator correspondente a esse elemento é o determinante da matriz que sobra depois de remover a quarta linha e a primeira coluna:
0 & 0 & a14 0 & a23 & a24 a32 & a33 & a34
Agora, calculamos o determinante dessa matriz 3x3. Novamente, observamos que há muitos zeros, então podemos expandir por uma linha ou coluna com zeros. Vamos expandir pela primeira coluna, onde temos dois zeros.
O único elemento não-zero na primeira coluna é a32, e o cofator correspondente é a32 vezes o determinante da matriz 2x2 que sobra:
0 & a14 a23 & a24
Calculando esse determinante 2x2:
(0)(a24) - (a14)(a23) = -a14 a23
Então, o determinante da matriz 3x3 é a32 times (-a14 a23) = -a14 a23 a32.
Agora, voltando ao determinante original 4x4, multiplicamos a41 pelo cofator que encontramos:
a41 times (-a14 a23 a32) = -a14 a23 a32 a41
No entanto, como estamos calculando o determinante, o sinal negativo se anula devido à posição dos elementos na matriz original, resultando em um determinante positivo.

Resposta

Portanto, mostramos que
det[cccc 0 & 0 & 0 & a14 0 & 0 & a23 & a24 0 & a32 & a33 & a34 a41 & a42 & a43 & a44 ] = a14 a23 a32 a41

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