Mostre que a distância entre as retas paralelas A x+B y+C1=0 e A x+B y+C2=0 é dada por:
D=|C1-C2|raizA^2+B^2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas paralelas dadas pelas equações D = |C1 - C2|raizA^2 + B^2 e . O objetivo é mostrar que a distância entre essas duas retas é dada por:
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a distância d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2 entre um ponto e uma reta :
Essa fórmula nos dá a distância perpendicular do ponto à reta.

Passo 3

Como as retas são paralelas, podemos pegar um ponto de uma das retas e calcular a distância desse ponto até a outra reta usando a fórmula acima. Vamos escolher um ponto na primeira reta .

Passo 4

Para facilitar, vamos escolher A x + C1 = 0 implies x = -C1A na primeira reta e resolver para :
Então, o ponto escolhido é .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da distância desse ponto até a segunda reta D = |A (-C1A) + B cdot 0 + C2|raizA^2 + B^2 = |-C1 + C2|raizA^2 + B^2 = |C1 - C2|raizA^2 + B^2 :

Resposta

A distância entre as retas é .

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