(2,0 pts) Sejam e .e e .
(b) é soma direta? Justifique

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a soma dos subespaços e é uma soma direta. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e somas diretas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa soma direta e como verificar se a soma de dois subespaços é direta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são e . Temos que:
Aqui, consiste em matrizes onde o elemento é igual a e é igual a . Já é composto por matrizes onde é igual a e é igual a .

Passo 3

Agora, para verificar se é uma soma direta, precisamos saber se a interseção entre e é apenas a matriz nula. Em outras palavras, é uma soma direta se .

Passo 4

Vamos encontrar a interseção . Para isso, procuramos matrizes que satisfazem as condições de ambos os subespaços simultaneamente.
Então, temos:

Passo 5

Vamos resolver essas equações:
  1. De e (porque de e de ), podemos deduzir que .
  2. De e , substituindo , temos .
Portanto, todas as entradas são iguais: .

Passo 6

Isso significa que a única matriz que pertence a ambos e é aquela onde todos os elementos são iguais. Vamos verificar se essa matriz pode ser a matriz nula:
Se , então a matriz é:
Portanto, a única matriz comum é a matriz nula.

Passo 7

Como a interseção contém apenas a matriz nula, concluímos que a soma é uma soma direta.

Resposta

Sim, é uma soma direta, pois a única matriz que pertence a ambos os subespaços é a matriz nula.

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e
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