(2,0 pts) Sejam e
.e
e
.
(b)
é soma direta? Justifique
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a soma dos subespaços
e
é uma soma direta. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e somas diretas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa soma direta e como verificar se a soma de dois subespaços é direta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são
e
. Temos que:
Aqui,
consiste em matrizes onde o elemento
é igual a
e
é igual a
. Já
é composto por matrizes onde
é igual a
e
é igual a
.
Passo 3
Agora, para verificar se
é uma soma direta, precisamos saber se a interseção entre
e
é apenas a matriz nula. Em outras palavras,
é uma soma direta se
.
Passo 4
Vamos encontrar a interseção
. Para isso, procuramos matrizes que satisfazem as condições de ambos os subespaços simultaneamente.
Então, temos:
Passo 5
Vamos resolver essas equações:
-
De
e (porque de e de ), podemos deduzir que . -
De
e , substituindo , temos .
Portanto, todas as entradas são iguais:
.
Passo 6
Isso significa que a única matriz que pertence a ambos
e
é aquela onde todos os elementos são iguais. Vamos verificar se essa matriz pode ser a matriz nula:
Se
, então a matriz é:
Portanto, a única matriz comum é a matriz nula.
Passo 7
Como a interseção
contém apenas a matriz nula, concluímos que a soma
é uma soma direta.
Resposta
Sim,
é uma soma direta, pois a única matriz que pertence a ambos os subespaços é a matriz nula.