(2,0 pts) Sejam e W1=(lla & b c & d) ; a=d.e b=c e W2=(lla & b c & d) ; a=c.
(b) b=d é soma direta? Justifique

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a soma dos subespaços e é uma soma direta. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e somas diretas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa soma direta e como verificar se a soma de dois subespaços é direta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são W1 = a & b c & d ; a = d e b = c e W2 = a & b c & d ; a = c e b = d . Temos que:
Aqui, consiste em matrizes onde o elemento é igual a e é igual a . Já é composto por matrizes onde é igual a e é igual a .

Passo 3

Agora, para verificar se é uma soma direta, precisamos saber se a interseção entre e é apenas a matriz nula. Em outras palavras, é uma soma direta se .

Passo 4

Vamos encontrar a interseção a = d (de W1) . Para isso, procuramos matrizes que satisfazem as condições de ambos os subespaços simultaneamente.
Então, temos:
b = c (de W1)
a = c (de W2)
b = d (de W2)

Passo 5

Vamos resolver essas equações:
  1. De e (porque de e de ), podemos deduzir que .
  2. De e , substituindo , temos .
Portanto, todas as entradas são iguais: .

Passo 6

Isso significa que a única matriz que pertence a ambos 0 & 0 0 & 0 e é aquela onde todos os elementos são iguais. Vamos verificar se essa matriz pode ser a matriz nula:
Se , então a matriz é:
Portanto, a única matriz comum é a matriz nula.

Passo 7

Como a interseção contém apenas a matriz nula, concluímos que a soma é uma soma direta.

Resposta

Sim, é uma soma direta, pois a única matriz que pertence a ambos os subespaços é a matriz nula.

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