Determine a distância do ponto à reta determinada pelos pontos e .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a distância do ponto até a reta determinada pelos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto até uma reta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que define a reta. Sabemos que a reta passa pelos pontos e . Para encontrar a direção da reta, precisamos do vetor diretor. Isso é feito subtraindo as coordenadas de pelas de :
Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 3
Agora, vamos considerar o ponto e calcular o vetor que vai de até . Fazemos isso subtraindo as coordenadas de pelas de :
Então, o vetor .
Passo 4
Para encontrar a distância do ponto até a reta, usamos a fórmula que envolve o produto vetorial entre e , dividido pelo módulo de :
Vamos calcular o produto vetorial .
Passo 5
O produto vetorial entre e é dado por:
Simplificando:
Então, .
Passo 6
Agora, vamos calcular o módulo do vetor resultado:
| PA times v | = raiz1^2 + 5^2 + 8^2 = raiz1 + 25 + 64 = raiz90 = 3raiz10
Passo 7
Também precisamos do módulo do vetor diretor | v | = raiz(-1)^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14 :
Passo 8
Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 3raiz10raiz14 = 3raiz10raiz14 times raiz14raiz14 = 3raiz14014 = 3raiz4 times 3514 = 3 times 2 raiz3514 = 6raiz3514 = 3raiz357
Resposta
A distância do ponto à reta determinada pelos pontos e é unidades.