Determine a distância do ponto A(-2,1,2) à reta determinada pelos pontos P(1,2,1) e Q(0,-1,3).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a distância do ponto até a reta determinada pelos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto até uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que define a reta. Sabemos que a reta passa pelos pontos PQ = Q - P = (0 - 1, -1 - 2, 3 - 1) = (-1, -3, 2) e . Para encontrar a direção da reta, precisamos do vetor diretor. Isso é feito subtraindo as coordenadas de pelas de :
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, vamos considerar o ponto PA = A - P = (-2 - 1, 1 - 2, 2 - 1) = (-3, -1, 1) e calcular o vetor que vai de até . Fazemos isso subtraindo as coordenadas de pelas de :
Então, o vetor .

Passo 4

Para encontrar a distância do ponto d = | PA times v | | v | até a reta, usamos a fórmula que envolve o produto vetorial entre e , dividido pelo módulo de :
Vamos calcular o produto vetorial .

Passo 5

O produto vetorial entre PA times v = i & j & k -3 & -1 & 1 -1 & -3 & 2 = i((-1)(2) - (1)(-3)) - j((-3)(2) - (1)(-1)) + k((-3)(-3) - (-1)(-1)) e = i(-2 + 3) - j(-6 + 1) + k(9 - 1) é dado por:
= i(1) - j(-5) + k(8)
Simplificando:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo do vetor resultado:
| PA times v | = raiz1^2 + 5^2 + 8^2 = raiz1 + 25 + 64 = raiz90 = 3raiz10

Passo 7

Também precisamos do módulo do vetor diretor | v | = raiz(-1)^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14 :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 3raiz10raiz14 = 3raiz10raiz14 times raiz14raiz14 = 3raiz14014 = 3raiz4 times 3514 = 3 times 2 raiz3514 = 6raiz3514 = 3raiz357

Resposta

A distância do ponto à reta determinada pelos pontos e é unidades.

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