Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
65. e) determinado pelo ponto e pela reta .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a equação de um plano. A gente vai usar geometria analítica, especificamente sobre equações de planos. Para isso, vamos precisar de um ponto no plano e de uma reta contida no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que temos:
Ponto no plano:
Reta no plano: As equações paramétricas são , ,
Nossa missão é achar a equação do plano que passa por esse ponto e contém essa reta.
Passo 3
Para achar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor que é perpendicular ao plano. Para encontrar esse vetor normal, vamos precisar de dois vetores que estão no plano.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar um vetor que está na reta. A reta é dada por , , . Podemos escrever o vetor direção da reta observando os coeficientes de :
Passo 5
Agora, vamos pegar um ponto qualquer na reta para formar o segundo vetor. Vamos escolher :
Quando : , ,
Então, temos o ponto na reta.
Passo 6
Agora, vamos formar um vetor que vai de até :
Passo 7
Agora temos dois vetores no plano:
Para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
Vamos calcular:
Simplificando:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -7:
Passo 8
Agora que temos o vetor normal e um ponto no plano, podemos usar a fórmula da equação do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e é o ponto dado.