Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
65. e) determinado pelo ponto e pela reta .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a equação de um plano. A gente vai usar geometria analítica, especificamente sobre equações de planos. Para isso, vamos precisar de um ponto no plano e de uma reta contida no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos:
  • Ponto no plano:
  • Reta no plano: As equações paramétricas são , ,
Nossa missão é achar a equação do plano que passa por esse ponto e contém essa reta.

Passo 3

Para achar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor que é perpendicular ao plano. Para encontrar esse vetor normal, vamos precisar de dois vetores que estão no plano.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar um vetor que está na reta. A reta é dada por , , . Podemos escrever o vetor direção da reta observando os coeficientes de :

Passo 5

Agora, vamos pegar um ponto qualquer na reta para formar o segundo vetor. Vamos escolher :
  • Quando : , ,
  • Então, temos o ponto na reta.

Passo 6

Agora, vamos formar um vetor que vai de até :

Passo 7

Agora temos dois vetores no plano:
Para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
Vamos calcular:
Simplificando:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -7:

Passo 8

Agora que temos o vetor normal e um ponto no plano, podemos usar a fórmula da equação do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e é o ponto dado.
Substituindo:

Resposta

A equação do plano é:

Exercícios relacionados

Determine uma equação do plano nos casos citados.
64. c) que passa pelos pontos e .
Determine a posição relativa das retas e .
60.
Determine a distância do ponto à reta determinada pelos pontos e .
Determine uma equação do plano nos casos citados.
64. b) passa pelo ponto e tem como um vetor normal.