Determine uma equação do plano nos casos citados.
64. b) passa pelo ponto e tem como um vetor normal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e tem como vetor normal . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos no espaço tridimensional. A gente vai precisar saber como relacionar um vetor normal e um ponto para montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral da equação de um plano. Se temos um vetor normal e um ponto que está no plano, a equação do plano pode ser escrita como:
Essa fórmula basicamente relaciona as coordenadas de qualquer ponto do plano com as coordenadas do ponto dado e os componentes do vetor normal.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que já temos no problema:
  • O vetor normal , então , e .
  • O ponto pelo qual o plano passa é , ou seja, , e .

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da equação do plano, temos:
Simplificando os sinais, fica:

Passo 5

Vamos distribuir os coeficientes:
O que resulta em:

Passo 6

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Podemos também rearranjar para uma forma mais comum:

Resposta

A equação do plano é:

Exercícios relacionados

Determine a distância do ponto à reta determinada pelos pontos e .
Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
65. e) determinado pelo ponto e pela reta .
Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
65. d) perpendicular ao eixo e que passa pelo ponto .
Obtenha equações paramétricas da reta de interseção dos planos dados.
69.