Determine uma equação do plano nos casos citados.
64. b) passa pelo ponto P(-1,-1,2) e tem n=lang<=-1,7,6rang<= como um vetor normal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e tem como vetor normal . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos no espaço tridimensional. A gente vai precisar saber como relacionar um vetor normal e um ponto para montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral da equação de um plano. Se temos um vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e um ponto que está no plano, a equação do plano pode ser escrita como:
Essa fórmula basicamente relaciona as coordenadas de qualquer ponto do plano com as coordenadas do ponto dado e os componentes do vetor normal.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que já temos no problema:
  • O vetor normal , então , e .
  • O ponto pelo qual o plano passa é , ou seja, , e .

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da equação do plano, temos:
-1(x - (-1)) + 7(y - (-1)) + 6(z - 2) = 0
Simplificando os sinais, fica:
-1(x + 1) + 7(y + 1) + 6(z - 2) = 0

Passo 5

Vamos distribuir os coeficientes:
-1 cdot x - 1 cdot 1 + 7 cdot y + 7 cdot 1 + 6 cdot z - 6 cdot 2 = 0
O que resulta em:
- x - 1 + 7y + 7 + 6z - 12 = 0

Passo 6

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
- x + 7y + 6z - 6 = 0
Podemos também rearranjar para uma forma mais comum:
- x + 7y + 6z = 6

Resposta

A equação do plano é:
- x + 7y + 6z = 6

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