Determine a distância dos pontos aos respectivos planos:
P(2,3,6) e pi: x+y+z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a distância do ponto até o plano definido pela equação . Isso envolve a matéria de Geometria Analítica, onde a gente usa uma fórmula específica pra calcular essa distância.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os coeficientes da equação do plano. A equação geral de um plano é . No nosso caso, comparando com , temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para calcular a distância de um ponto D = |a x0 + b y0 + c z0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 até o plano :
Essa fórmula basicamente projeta o vetor posição do ponto no vetor normal do plano e normaliza pela magnitude desse vetor.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula. O ponto é D = |1 cdot 2 + 1 cdot 3 + 1 cdot 6 + 0|raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = |2 + 3 + 6|raiz3 = 11raiz3 , então , , . Substituindo na fórmula:

Passo 5

Podemos deixar a resposta mais “arrumadinha” racionalizando o denominador. Multiplicamos numerador e denominador por D = 11 raiz33 :
D approx 11 times 1,7323 approx 19,0523 approx 6,35
Se preferir, podemos aproximar numericamente:

Resposta

A distância do ponto ao plano é unidades, aproximadamente unidades.

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