Suponha que e .
(1) Mostre que, se A, e estão alinhados, então .
(2) Apresente exemplo no qual o determinante citado é nulo mas e não estão alinhados.
(3) Tente apresentar critério para obter a equivalência com
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . A questão está dividida em três partes:
Parte (1): Mostrar que se os pontos , e estão alinhados (ou seja, são colineares), então o determinante da matriz formada por suas coordenadas é igual a zero.
Parte (2): Apresentar um exemplo onde o determinante é zero, mas os pontos não estão alinhados.
Parte (3): Tentar apresentar um critério para obter a equivalência com algo que não foi completamente especificado no enunciado.
Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte (1): Mostrar que se , , e estão alinhados, então o determinante é zero.
Primeiro, precisamos entender o que significa os pontos estarem alinhados. Três pontos estão alinhados se existe uma única linha reta que passa por todos eles. Em termos vetoriais, isso significa que os vetores e são colineares.
Para verificar a colinearidade usando determinantes, formamos uma matriz com as coordenadas dos pontos e calculamos seu determinante. Se o determinante for zero, os vetores são colineares, e portanto os pontos estão alinhados.
A matriz formada pelas coordenadas dos pontos , e é:
O determinante dessa matriz é calculado da seguinte forma:
Se , e estão alinhados, isso implica que os vetores e são múltiplos um do outro, e portanto o determinante será zero.
Passo 3
Parte (2): Exemplo onde o determinante é zero, mas os pontos não estão alinhados.
Embora geralmente um determinante zero indica colinearidade, há casos especiais onde ocorre zero no determinante sem que os pontos estejam realmente alinhados. Isso pode acontecer se dois dos três pontos coincidirem, ou seja, se algum par de pontos for igual.
Por exemplo, considere os seguintes pontos:
Aqui, e são o mesmo ponto. Vamos calcular o determinante:
Calculando o determinante:
Apesar do determinante ser zero, os pontos , e não estão alinhados porque e coincidem, mas está em uma posição diferente.
Passo 4
Parte (3): Critério para obter a equivalência.
Para que o determinante ser zero realmente implique que os pontos , e estão alinhados, precisamos garantir que os três pontos sejam distintos. Ou seja, os três pontos devem estar em posições diferentes no espaço para evitar a situação onde dois pontos coincidem.
Portanto, o critério completo seria:
Se os pontos , , e são distintos e o determinante da matriz formada por suas coordenadas é zero, então os pontos estão alinhados.
Essa condição garante que o determinante zero realmente reflete a colinearidade dos pontos, evitando casos triviais onde o determinante é zero devido à coincidência de pontos.
Resposta
Se , e estão alinhados, o determinante da matriz com suas coordenadas é zero.
Um exemplo é , , e , onde o determinante é zero, mas os pontos não estão alinhados.
O determinante ser zero implica alinhamento dos pontos se e somente se os três pontos forem distintos. Portanto, o critério para equivalência é que os pontos sejam distintos e o determinante seja igual a zero.