Verifique se os planos são paralelos, caso afirmativo calcule a distância entre os mesmos: e .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos dois planos dados pelas equações e . A gente precisa primeiro verificar se esses planos são paralelos. Se forem, então vamos calcular a distância entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço.
Passo 2
Primeiro, para saber se os planos são paralelos, a gente olha para os vetores normais deles. O vetor normal de um plano é formado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
Para , o vetor normal é .
Para , o vetor normal é .
Passo 3
Agora, vamos ver se esses vetores normais são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo do outro. Se a gente dividir os componentes correspondentes:
, , .
Como todas as razões são iguais, isso significa que é igual a . Logo, os planos e são paralelos.
Passo 4
Agora que sabemos que os planos são paralelos, vamos calcular a distância entre eles. A fórmula para a distância entre dois planos paralelos e é:
Mas antes de aplicar a fórmula, precisamos deixar as duas equações com os mesmos coeficientes para , e .
Passo 5
Observando as equações dos planos:
Vamos dividir a equação de por 2 para facilitar:
Agora, ambas as equações têm a mesma estrutura: no lado esquerdo.
Passo 6
Aplicando a fórmula da distância:
Primeiro, calculamos o numerador:
| 52 - 4 | = | 52 - 82 | = | -32 | = 32
Agora, o denominador:
raiz1 + 1 + 1 = raiz3
Passo 7
Finalmente, substituindo os valores:
D = 32raiz3 = 32raiz3
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por raiz3:
D = 3raiz32 times 3 = raiz32
Resposta
A distância entre os planos pi1 e pi2 é raiz32 unidades.