Verifique se os planos são paralelos, caso afirmativo calcule a distância entre os mesmos: pi1: x+y+z=4 e pi2: 2 x+2 y+2 z=5.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos dois planos dados pelas equações pi1: x + y + z = 4 e pi2: 2x + 2y + 2z = 5. A gente precisa primeiro verificar se esses planos são paralelos. Se forem, então vamos calcular a distância entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, para saber se os planos são paralelos, a gente olha para os vetores normais deles. O vetor normal de um plano é formado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano.
Para pi1, o vetor normal é n1 = (1, 1, 1).
Para pi2, o vetor normal é n2 = (2, 2, 2).

Passo 3

Agora, vamos ver se esses vetores normais são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo do outro. Se a gente dividir os componentes correspondentes:
21 = 2,
21 = 2,
21 = 2.
Como todas as razões são iguais, isso significa que n2 é igual a 2 times n1. Logo, os planos pi1 e pi2 são paralelos.

Passo 4

Agora que sabemos que os planos são paralelos, vamos calcular a distância entre eles. A fórmula para a distância D entre dois planos paralelos pi1: ax + by + cz = d1 e pi2: ax + by + cz = d2 é:
D = |d2 - d1|raiza^2 + b^2 + c^2
Mas antes de aplicar a fórmula, precisamos deixar as duas equações com os mesmos coeficientes para x, y e z.

Passo 5

Observando as equações dos planos:
pi1: x + y + z = 4
pi2: 2x + 2y + 2z = 5
Vamos dividir a equação de pi2 por 2 para facilitar:
pi2: x + y + z = 52
Agora, ambas as equações têm a mesma estrutura: x + y + z no lado esquerdo.

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância:
D = | 52 - 4 |raiz1^2 + 1^2 + 1^2
Primeiro, calculamos o numerador:
| 52 - 4 | = | 52 - 82 | = | -32 | = 32
Agora, o denominador:
raiz1 + 1 + 1 = raiz3

Passo 7

Finalmente, substituindo os valores:
D = 32raiz3 = 32raiz3
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por raiz3:
D = 3raiz32 times 3 = raiz32

Resposta

A distância entre os planos pi1 e pi2 é raiz32 unidades.

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