Verifique se os planos são paralelos, caso afirmativo calcule a distância entre os mesmos: e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos dois planos dados pelas equações e . A gente precisa primeiro verificar se esses planos são paralelos. Se forem, então vamos calcular a distância entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, para saber se os planos são paralelos, a gente olha para os vetores normais deles. O vetor normal de um plano é formado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
Para , o vetor normal é .
Para , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, vamos ver se esses vetores normais são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo do outro. Se a gente dividir os componentes correspondentes:
,
,
.
Como todas as razões são iguais, isso significa que é igual a . Logo, os planos e são paralelos.

Passo 4

Agora que sabemos que os planos são paralelos, vamos calcular a distância entre eles. A fórmula para a distância entre dois planos paralelos e é:
Mas antes de aplicar a fórmula, precisamos deixar as duas equações com os mesmos coeficientes para , e .

Passo 5

Observando as equações dos planos:

Vamos dividir a equação de por 2 para facilitar:
Agora, ambas as equações têm a mesma estrutura: no lado esquerdo.

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância:
Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, o denominador:

Passo 7

Finalmente, substituindo os valores:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por :

Resposta

A distância entre os planos e é unidades.

Exercícios relacionados

Suponha que e .
(1) Mostre que, se A, e estão alinhados, então .
(2) Apresente exemplo no qual o determinante citado é nulo mas e não estão alinhados.
(3) Tente apresentar critério para obter a equivalência com
Determine a distância dos pontos aos respectivos planos:
e
Mostrar que as matrizes e formam uma base de .
Se e . Supondo que ABCD formam um tetraedro, determine fórmula para o centróide do tetraedro .