Encontre os autovalores e autovetores do operador linear
definido pela matriz
relativa às bases canônicas no domínio e contradomínio
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores do operador linear
definido pela matriz
Para isso, vamos trabalhar com matrizes e usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, a gente resolve a equação característica, que é dada por:
Aqui,
é a matriz identidade e
representa os autovalores que estamos procurando.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores:
Passo 4
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Substituímos na matriz :
Substituímos na matriz
Isso nos leva ao sistema de equações:
Da primeira equação, temos
. O valor de
pode ser qualquer número real. Portanto, os autovetores para
são da forma:
Podemos escolher, por exemplo,
, então um autovetor é:
Para
:
Substituímos na matriz :
Substituímos na matriz
Isso nos leva ao sistema de equações:
Da primeira equação, temos
. O valor de
pode ser qualquer número real. Portanto, os autovetores para
são da forma:
Podemos escolher, por exemplo,
, então um autovetor é:
Resposta
Os autovalores do operador
são
e
. Os autovetores correspondentes são: