Encontre os autovalores e autovetores do operador linear definido pela matriz
relativa às bases canônicas no domínio e contradomínio

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores do operador linear definido pela matriz
Para isso, vamos trabalhar com matrizes e usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, a gente resolve a equação característica, que é dada por:
Aqui, é a matriz identidade e representa os autovalores que estamos procurando.

Passo 3

Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores:

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Substituímos na matriz :
Isso nos leva ao sistema de equações:
Da primeira equação, temos . O valor de pode ser qualquer número real. Portanto, os autovetores para são da forma:
Podemos escolher, por exemplo, , então um autovetor é:
Para :
Substituímos na matriz :
Isso nos leva ao sistema de equações:
Da primeira equação, temos . O valor de pode ser qualquer número real. Portanto, os autovetores para são da forma:
Podemos escolher, por exemplo, , então um autovetor é:

Resposta

Os autovalores do operador são e . Os autovetores correspondentes são:

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em relação às bases
do domínio e contradomínio, respectivamente.
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e