Encontre os autovalores e autovetores do operador linear T: R^2 R^2 definido pela matriz
[T]=[cc 1 & 2 0 & -1 ]
relativa às bases canônicas no domínio e contradomínio

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores do operador linear [T] = 1 & 2 0 & -1 definido pela matriz
Para isso, vamos trabalhar com matrizes e usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, a gente resolve a equação característica, que é dada por:
det(T - lambda I) = 0
Aqui, é a matriz identidade e representa os autovalores que estamos procurando.

Passo 3

Vamos montar a matriz T - lambda I = 1 - lambda & 2 0 & -1 - lambda :
det(T - lambda I) = (1 - lambda)(-1 - lambda) - (0 times 2) = (1 - lambda)(-1 - lambda)
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
(1 - lambda)(-1 - lambda) = 0
Simplificando:
lambda1 = 1 e lambda2 = -1
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores:

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada T - I = 0 & 2 0 & -2 .
Para 0x + 2y = 0 0x - 2y = 0 :
Substituímos na matriz x 0 onde x neq 0 :
1 0
Isso nos leva ao sistema de equações:
T + I = 2 & 2 0 & 0
Da primeira equação, temos 2x + 2y = 0 0x + 0y = 0 . O valor de -y y = y -1 1 onde y neq 0 pode ser qualquer número real. Portanto, os autovetores para -1 1 são da forma:
Podemos escolher, por exemplo, , então um autovetor é:
Para :
Substituímos na matriz :
Isso nos leva ao sistema de equações:
Da primeira equação, temos . O valor de pode ser qualquer número real. Portanto, os autovetores para são da forma:
Podemos escolher, por exemplo, , então um autovetor é:

Resposta

Os autovalores do operador Para lambda1 = 1: 1 0 são Para lambda2 = -1: -1 1 e . Os autovetores correspondentes são:

Exercícios relacionados