Determine a distância da reta ao plano : x-y-2 z+4=0.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre uma reta e um plano . Esse tipo de problema faz parte da geometria analítica, que estuda figuras geométricas usando coordenadas e equações. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto a um plano e verificar se a reta é paralela ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações que a gente tem:
A reta x = 4 + 3t y = -1 + t z = t está definida por:
x - y - 2z + 4 = 0
Aqui, é um parâmetro que descreve todos os pontos da reta.
O plano é dado por:
Passo 3
Agora, vamos entender a direção da reta e o normal do plano. A direção da reta vem dos coeficientes de , que são . O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano, então .
Passo 4
Vamos verificar se a reta é paralela ao plano. Para isso, calculamos o produto escalar entre o vetor direção da reta d cdot n = 3 times 1 + 1 times (-1) + 1 times (-2) = 3 - 1 - 2 = 0 e o vetor normal do plano :
Como o produto escalar deu zero, isso significa que a reta é paralela ao plano.
Passo 5
Como a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é constante e pode ser calculada usando a fórmula da distância de um ponto a um plano. Vamos pegar um ponto qualquer da reta para calcular essa distância. Por exemplo, quando D = |a x0 + b y0 + c z0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 , o ponto na reta é .
A fórmula para a distância de um ponto ao plano é:
Passo 6
Vamos aplicar essa fórmula com o ponto D = |1 times 4 + (-1) times (-1) + (-2) times 0 + 4|raiz1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = |4 + 1 + 0 + 4|raiz1 + 1 + 4 = 9raiz6 e o plano :
Coeficientes do plano: , , , .
Coordenadas do ponto: , , .
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão racionalizando o denominador: