Determine a distância da reta ao plano : .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre uma reta e um plano . Esse tipo de problema faz parte da geometria analítica, que estuda figuras geométricas usando coordenadas e equações. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto a um plano e verificar se a reta é paralela ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações que a gente tem:
  • A reta está definida por:
    Aqui, é um parâmetro que descreve todos os pontos da reta.
  • O plano é dado por:

Passo 3

Agora, vamos entender a direção da reta e o normal do plano. A direção da reta vem dos coeficientes de , que são . O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano, então .

Passo 4

Vamos verificar se a reta é paralela ao plano. Para isso, calculamos o produto escalar entre o vetor direção da reta e o vetor normal do plano :
Como o produto escalar deu zero, isso significa que a reta é paralela ao plano.

Passo 5

Como a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é constante e pode ser calculada usando a fórmula da distância de um ponto a um plano. Vamos pegar um ponto qualquer da reta para calcular essa distância. Por exemplo, quando , o ponto na reta é .
A fórmula para a distância de um ponto ao plano é:

Passo 6

Vamos aplicar essa fórmula com o ponto e o plano :
  • Coeficientes do plano: , , , .
  • Coordenadas do ponto: , , .
Substituindo na fórmula:

Passo 7

Podemos simplificar a expressão racionalizando o denominador:

Resposta

A distância entre a reta e o plano é unidades.

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