Reduza os seguintes números complexos à forma a+b i : а) z=(1+1)(2+i)2-3 i;

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos simplificar o número complexo para a forma , onde e são números reais. Para isso, vamos precisar saber como multiplicar e dividir números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador 2 cdot (2 + i) = 4 + 2i . Somando os números, temos . Então, multiplicamos por :

Passo 3

Agora, o número complexo fica:
z = 4 + 2i2 - 3i
Para simplificar essa fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .

Passo 4

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
z = 4 + 2i2 - 3i cdot 2 + 3i2 + 3i = (4 + 2i)(2 + 3i)(2)^2 + (3)^2
A ideia aqui é eliminar a parte imaginária do denominador.

Passo 5

Vamos calcular o numerador 4 cdot 2 = 8 :
4 cdot 3i = 12i
2i cdot 2 = 4i
2i cdot 3i = 6i^2
8 + 12i + 4i + 6i^2 = 8 + 16i + 6(-1) = 8 + 16i - 6 = 2 + 16i
Somando tudo:
Lembrando que .

Passo 6

Calculando o denominador:
(2)^2 + (3)^2 = 4 + 9 = 13

Passo 7

Agora, podemos escrever z = 2 + 16i13 = 213 + 1613i na forma :

Resposta

z = 213 + 1613i

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