Existe uma transformação linear tal que e ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear e três pares de vetores com suas respectivas imagens:
O conteúdo envolvido aqui é transformações lineares e independência linear. Para resolver, vamos precisar verificar se existe uma transformação linear que satisfaça essas condições, observando se os vetores de entrada e suas imagens são linearmente dependentes ou independentes.
Passo 2
Uma transformação linear preserva a estrutura linear dos vetores. Ou seja, se os vetores de entrada são linearmente dependentes, então suas imagens também devem ser. Vamos verificar se os vetores de entrada são linearmente dependentes.
Os vetores de entrada são:
Para verificar a dependência linear, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos seu determinante:
Calculando:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Agora, vamos verificar as imagens desses vetores:
Vamos calcular o determinante dessa nova matriz:
Calculando:
O determinante é 12, que é diferente de zero, então as imagens são linearmente independentes.
Passo 4
Aqui está o problema: se os vetores de entrada são linearmente dependentes, as imagens desses vetores sob uma transformação linear também deveriam ser linearmente dependentes. Porém, acabamos de ver que as imagens são linearmente independentes. Isso cria uma contradição com a propriedade das transformações lineares.
Resposta
Não, não existe uma transformação linear que satisfaça as condições dadas, pois viola a propriedade de que imagens de vetores linearmente dependentes devem ser também linearmente dependentes.