Reduza os seguintes números complexos à forma a+b i : z=i^57(-1+i).

Passo 1

O exercício pede para reduzir o número complexo z = i^57(-1 + i) à forma a + b,i. Vamos usar conceitos de números complexos e propriedades das potências de i para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular i^57. Sabemos que as potências de i se repetem a cada 4 termos:
i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1
Para encontrar i^57, dividimos 57 por 4 e verificamos o resto:
57 div 4 = 14 com resto 1
Então,
i^57 = i^4 times 14 + 1 = (i^4)^14 times i^1 = 1^14 times i = i

Passo 3

Agora que sabemos que i^57 = i, substituímos isso na expressão original:
z = i times (-1 + i)
Vamos distribuir o i dentro do parêntese:
z = i times (-1) + i times i = -i + i^2

Passo 4

Sabemos que i^2 = -1. Substituindo na expressão:
z = -i + (-1) = -1 - i

Resposta

A expressão z = i^57(-1 + i) reduzida à forma a + b,i é:
z = -1 - i

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