Usando indução, prove: 1n+1n+1+cdots+12 n >= 12.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente precisa provar, usando o método de indução matemática, que a soma dos termos 1n + 1n+1 + cdots + 12n é pelo menos 12. Para isso, vamos precisar entender como funciona a indução matemática, que é uma técnica usada para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais maiores ou iguais a um certo valor inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base da nossa indução, ou seja, quando n = 1. Substituindo n por 1 na soma, temos:
11 + 12 = 1 + 12 = 32
Agora, vamos comparar com 12:
32 >= 12
Isso é verdade, então o caso base está confirmado.

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural k, ou seja:
1k + 1k+1 + cdots + 12k >= 12
Essa suposição é chamada de hipótese de indução. Nosso objetivo agora é mostrar que, se isso é verdadeiro para k, então também será verdadeiro para k + 1.

Passo 4

Consideremos a soma para k + 1:
1k+1 + 1k+2 + cdots + 12(k+1) = 1k+1 + (1k+2 + cdots + 12k+2)
Perceba que os últimos k+1 termos dessa nova soma incluem os termos da hipótese de indução, mas há uma pequena diferença. No entanto, sabemos que todos os termos 1k+2, 1k+3, ldots, 12k+2 são menores ou iguais aos correspondentes em 1k, 1k+1, ldots, 12k.

Passo 5

Como os termos adicionais na soma para k + 1 são menores ou iguais, a soma total não diminui. Além disso, adicionamos o termo 12k+2, que é positivo. Portanto, a soma para k + 1 também será maior ou igual a 12:
1k+1 + cdots + 12k+2 >= 12
Isso confirma que se a afirmação é verdadeira para k, ela também é verdadeira para k + 1.

Resposta

Pelo princípio da indução matemática, a soma 1n + 1n+1 + cdots + 12n é, de fato, maior ou igual a 12 para todo número natural n >= 1.

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