Usando indução, prove:
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente precisa provar, usando o método de indução matemática, que a soma dos termos
é pelo menos
. Para isso, vamos precisar entender como funciona a indução matemática, que é uma técnica usada para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais maiores ou iguais a um certo valor inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base da nossa indução, ou seja, quando
. Substituindo
por
na soma, temos:
Agora, vamos comparar com
:
Isso é verdade, então o caso base está confirmado.
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural
, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução. Nosso objetivo agora é mostrar que, se isso é verdadeiro para
, então também será verdadeiro para
.
Passo 4
Consideremos a soma para
:
Perceba que os últimos
termos dessa nova soma incluem os termos da hipótese de indução, mas há uma pequena diferença. No entanto, sabemos que todos os termos
são menores ou iguais aos correspondentes em
.
Passo 5
Como os termos adicionais na soma para
são menores ou iguais, a soma total não diminui. Além disso, adicionamos o termo
, que é positivo. Portanto, a soma para
também será maior ou igual a
:
Isso confirma que se a afirmação é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
.
Resposta
Pelo princípio da indução matemática, a soma
é, de fato, maior ou igual a
para todo número natural
.
Exercícios relacionados
Determine a distância da reta
(a) ao plano
;
(b) ao eixo dos ;
© ao plano .
(b) ao eixo dos
© ao plano
Se
e
são pontos distintos de uma circunferência e
é um diâmetro, mostre que o triângulo
é um triângulo retângulo.
9
Seja a transformação linear definida por
. Mostre que se núcleo é
e conclua que para todo polinômio
existe um polinômio
tal que
.
Seja