Usando indução, prove: .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente precisa provar, usando o método de indução matemática, que a soma dos termos é pelo menos . Para isso, vamos precisar entender como funciona a indução matemática, que é uma técnica usada para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais maiores ou iguais a um certo valor inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base da nossa indução, ou seja, quando . Substituindo por na soma, temos:
Agora, vamos comparar com :
Isso é verdade, então o caso base está confirmado.

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução. Nosso objetivo agora é mostrar que, se isso é verdadeiro para , então também será verdadeiro para .

Passo 4

Consideremos a soma para :
Perceba que os últimos termos dessa nova soma incluem os termos da hipótese de indução, mas há uma pequena diferença. No entanto, sabemos que todos os termos são menores ou iguais aos correspondentes em .

Passo 5

Como os termos adicionais na soma para são menores ou iguais, a soma total não diminui. Além disso, adicionamos o termo , que é positivo. Portanto, a soma para também será maior ou igual a :
Isso confirma que se a afirmação é verdadeira para , ela também é verdadeira para .

Resposta

Pelo princípio da indução matemática, a soma é, de fato, maior ou igual a para todo número natural .

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