Determine a distância entre a reta x/2=y/2=(z-1)/1 e o ponto P(0, 2, 0)
a) 2
b) 1
c) 4
d 3
e) 0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinarmos a distância entre uma reta dada pela equação $ \frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z-1}{1} $ e o ponto $ P(0, 2, 0) $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da reta de uma forma que facilite o uso da fórmula. A equação $ \frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z-1}{1} $ pode ser parametrizada usando um parâmetro $ t $:
Aqui, $ t $ representa diferentes pontos na reta conforme varia.
Passo 3
Agora, identificamos um ponto qualquer na reta e o vetor diretor da reta. Escolhendo $ t = 0 $, temos o ponto $ A(0, 0, 1) $. O vetor diretor $ \vec{u} $ da reta é dado pelos coeficientes de $ t $ nas equações paramétricas:
t = 0
Passo 4
A fórmula para a distância $ d $ entre o ponto $ P(x_0, y_0, z_0) $ e a reta que passa pelo ponto $ A(x_1, y_1, z_1) $ com vetor diretor $ \vec{u} = d $ é:
P(x0, y0, z0)
Onde $ \vec{AP} $ é o vetor que vai de $ A $ até $ P $, ou seja:
A(x1, y1, z1)
Passo 5
Vamos calcular $ \vec{AP} $:
AP
Passo 6
Agora, calculamos o produto vetorial $ \vec{u} \times \vec{AP} $:
u times AP
u times AP = i & j & k 2 & 2 & 1 0 & 2 & -1 = i(2 cdot (-1) - 1 cdot 2) - j(2 cdot (-1) - 1 cdot 0) + k(2 cdot 2 - 2 cdot 0)
Passo 7
Calculamos o módulo do vetor resultante do produto vetorial: