Determine a distância entre a reta x/2=y/2=(z-1)/1 e o ponto P(0, 2, 0)
a) 2
b) 1
c) 4
d 3
e) 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinarmos a distância entre uma reta dada pela equação $ \frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z-1}{1} $ e o ponto $ P(0, 2, 0) $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da reta de uma forma que facilite o uso da fórmula. A equação $ \frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z-1}{1} $ pode ser parametrizada usando um parâmetro $ t $:
x2 = y2 = z-11
Aqui, $ t $ representa diferentes pontos na reta conforme varia.

Passo 3

Agora, identificamos um ponto qualquer na reta e o vetor diretor da reta. Escolhendo $ t = 0 $, temos o ponto $ A(0, 0, 1) $. O vetor diretor $ \vec{u} $ da reta é dado pelos coeficientes de $ t $ nas equações paramétricas:
t = 0

Passo 4

A fórmula para a distância $ d $ entre o ponto $ P(x_0, y_0, z_0) $ e a reta que passa pelo ponto $ A(x_1, y_1, z_1) $ com vetor diretor $ \vec{u} = d $ é:
P(x0, y0, z0)
Onde $ \vec{AP} $ é o vetor que vai de $ A $ até $ P $, ou seja:
A(x1, y1, z1)

Passo 5

Vamos calcular $ \vec{AP} $:
AP

Passo 6

Agora, calculamos o produto vetorial $ \vec{u} \times \vec{AP} $:
u times AP
u times AP = i & j & k 2 & 2 & 1 0 & 2 & -1 = i(2 cdot (-1) - 1 cdot 2) - j(2 cdot (-1) - 1 cdot 0) + k(2 cdot 2 - 2 cdot 0)

Passo 7

Calculamos o módulo do vetor resultante do produto vetorial:
|u times AP| = raiz(-4)^2 + 2^2 + 4^2 = raiz16 + 4 + 16 = raiz36 = 6

Passo 8

Agora, calculamos o módulo do vetor diretor $ \vec{u} $:
u

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 63 = 2

Resposta

A distância entre a reta e o ponto $ P(0, 2, 0) $ é 2. Alternativa a).

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