Use o método do determinante (Cramer) para resolver os sistemas de equações: lx-3 y+3 z=-4 2 x+3 y-z=15 4 x-3 y-z=19

Matrizes

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Demostre as propriedades de matrizes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Cramer, que envolve determinantes de matrizes. Primeiro, temos o seguinte sistema:
x - 3y + 3z = -4 2x + 3y - z = 15 4x - 3y - z = 19
Para aplicar o Método de Cramer, precisamos das matrizes dos coeficientes e calcular seus determinantes. Vamos precisar saber como formar essas matrizes e como calcular determinantes de matrizes 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema, que são os números que acompanham as variáveis A = 1 & -3 & 3 2 & 3 & -1 4 & -3 & -1 , e . A matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 times 3 times (-1) + (-3) times (-1) times 4 + 3 times 2 times (-3) - 3 times 3 times 4 - (-3) times 2 times (-1) - 1 times (-1) times (-3) , que é essencial para o Método de Cramer. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A) = (1 times 3 times -1) + (-3 times -1 times 4) + (3 times 2 times -3) - (3 times 3 times 4) - (-3 times 2 times -1) - (1 times -1 times -3)
Calculando passo a passo:
det(A) = (-3) + (12) + (-18) - (36) - (6) - (3) = -3 + 12 - 18 - 36 - 6 - 3 = -54
Então, .

Passo 4

Agora, vamos formar as matrizes Ax = -4 & -3 & 3 15 & 3 & -1 19 & -3 & -1 , e substituindo, respectivamente, a coluna dos coeficientes de , e pelos termos constantes do sistema (-4, 15, 19).
Primeiro, a matriz substitui a coluna de pela coluna dos termos constantes:

Passo 5

Vamos calcular o determinante de det(Ax) = (-4) times 3 times (-1) + (-3) times (-1) times 19 + 3 times 15 times (-3) - 3 times 3 times 19 - (-3) times 15 times (-1) - (-4) times (-1) times (-3) :
det(Ax) = (12) + (57) + (-135) - (171) - (45) - (12) = 12 + 57 - 135 - 171 - 45 - 12 = -294
Calculando passo a passo:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos formar a matriz Ay = 1 & -4 & 3 2 & 15 & -1 4 & 19 & -1 substituindo a coluna de pela coluna dos termos constantes:

Passo 7

Calculando o determinante de det(Ay) = 1 times 15 times (-1) + (-4) times (-1) times 4 + 3 times 2 times 19 - 3 times 15 times 4 - (-4) times 2 times (-1) - 1 times (-1) times 19 :
det(Ay) = (-15) + (16) + (114) - (180) - (8) - (19) = -15 + 16 + 114 - 180 - 8 - 19 = -112
Calculando passo a passo:
Então, .

Passo 8

Agora, vamos formar a matriz Az = 1 & -3 & -4 2 & 3 & 15 4 & -3 & 19 substituindo a coluna de pela coluna dos termos constantes:

Passo 9

Calculando o determinante de det(Az) = 1 times 3 times 19 + (-3) times 15 times 4 + (-4) times 2 times (-3) - (-4) times 3 times 4 - (-3) times 2 times 19 - 1 times 15 times (-3) :
det(Az) = (57) + (-180) + (24) - (-48) - (-114) - (-45) = 57 - 180 + 24 + 48 + 114 + 45 = 108
Calculando passo a passo:
Então, .

Passo 10

Agora que temos os determinantes, podemos encontrar as variáveis usando a Fórmula de Cramer:
x = det(Ax)det(A) = -294-54 = 29454 = 499
y = det(Ay)det(A) = -112-54 = 11254 = 5627
z = det(Az)det(A) = 108-54 = -2

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 499, y = 5627, z = -2

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