Use o método do determinante (Cramer) para resolver os sistemas de equações:
Matrizes
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Demostre as propriedades de matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Cramer, que envolve determinantes de matrizes. Primeiro, temos o seguinte sistema:
x - 3y + 3z = -4 2x + 3y - z = 15 4x - 3y - z = 19
Para aplicar o Método de Cramer, precisamos das matrizes dos coeficientes e calcular seus determinantes. Vamos precisar saber como formar essas matrizes e como calcular determinantes de matrizes 3x3.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema, que são os números que acompanham as variáveis A = 1 & -3 & 3 2 & 3 & -1 4 & -3 & -1 , e . A matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 times 3 times (-1) + (-3) times (-1) times 4 + 3 times 2 times (-3) - 3 times 3 times 4 - (-3) times 2 times (-1) - 1 times (-1) times (-3) , que é essencial para o Método de Cramer. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A) = (1 times 3 times -1) + (-3 times -1 times 4) + (3 times 2 times -3) - (3 times 3 times 4) - (-3 times 2 times -1) - (1 times -1 times -3)
Agora, vamos formar as matrizes Ax = -4 & -3 & 3 15 & 3 & -1 19 & -3 & -1 , e substituindo, respectivamente, a coluna dos coeficientes de , e pelos termos constantes do sistema (-4, 15, 19).
Primeiro, a matriz substitui a coluna de pela coluna dos termos constantes:
Passo 5
Vamos calcular o determinante de det(Ax) = (-4) times 3 times (-1) + (-3) times (-1) times 19 + 3 times 15 times (-3) - 3 times 3 times 19 - (-3) times 15 times (-1) - (-4) times (-1) times (-3) :
Agora, vamos formar a matriz Ay = 1 & -4 & 3 2 & 15 & -1 4 & 19 & -1 substituindo a coluna de pela coluna dos termos constantes:
Passo 7
Calculando o determinante de det(Ay) = 1 times 15 times (-1) + (-4) times (-1) times 4 + 3 times 2 times 19 - 3 times 15 times 4 - (-4) times 2 times (-1) - 1 times (-1) times 19 :
Agora, vamos formar a matriz Az = 1 & -3 & -4 2 & 3 & 15 4 & -3 & 19 substituindo a coluna de pela coluna dos termos constantes:
Passo 9
Calculando o determinante de det(Az) = 1 times 3 times 19 + (-3) times 15 times 4 + (-4) times 2 times (-3) - (-4) times 3 times 4 - (-3) times 2 times 19 - 1 times 15 times (-3) :