Determine a distância entre as retas reversas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a distância entre duas retas reversas no espaço tridimensional. Isso pertence à matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre retas que não são paralelas e não se encontram, ou seja, retas skew.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas dadas:
Aqui, e são os parâmetros que variam ao longo das retas e , respectivamente.

Passo 3

Para encontrar a distância entre essas duas retas reversas, podemos usar a fórmula que envolve os vetores diretores das retas e o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta. A fórmula é:
Onde:
  • e são os vetores diretores das retas e ,
  • é o vetor que liga um ponto de a um ponto de ,
  • representa o produto vetorial,
  • representa o produto escalar.

Passo 4

Vamos identificar os vetores diretores e das retas e :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, escolhemos pontos em e em . Vamos escolher para e para :
Para com :
Para com :

Passo 6

Vamos encontrar o vetor ligando a :

Passo 7

Agora, calculamos o produto vetorial :
Simplificando:

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar :
Como estamos interessados no valor absoluto:

Passo 9

Agora, calculamos a norma do produto vetorial :

Passo 10

Aplicando tudo na fórmula da distância:

Resposta

A distância entre as retas reversas e é aproximadamente 2,51 unidades.

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