Determine a distância entre as retas reversas
& r1: x=1+7 t, y=3+t, z=5-3 t & r2: x=4-s, y=6, z=7+2 s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a distância entre duas retas reversas no espaço tridimensional. Isso pertence à matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre retas que não são paralelas e não se encontram, ou seja, retas skew.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas dadas:
& r1: x = 1 + 7t, y = 3 + t, z = 5 - 3t & r2: x = 4 - s, y = 6, z = 7 + 2s
Aqui, e são os parâmetros que variam ao longo das retas e , respectivamente.

Passo 3

Para encontrar a distância entre essas duas retas reversas, podemos usar a fórmula que envolve os vetores diretores das retas e o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta. A fórmula é:
d = |v1 times v2 cdot P2P1||v1 times v2|
Onde:
  • e são os vetores diretores das retas e ,
  • é o vetor que liga um ponto de a um ponto de ,
  • representa o produto vetorial,
  • representa o produto escalar.

Passo 4

Vamos identificar os vetores diretores e das retas e :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, escolhemos pontos em e em . Vamos escolher para e para :
Para com :
Para com :

Passo 6

Vamos encontrar o vetor P2P1 = lang<= 4 - 1, 6 - 3, 7 - 5 rang<= = lang<= 3, 3, 2 rang<= ligando a :

Passo 7

Agora, calculamos o produto vetorial v1 times v2 = i & j & k 7 & 1 & -3 -1 & 0 & 2 = i(1 cdot 2 - (-3) cdot 0) - j(7 cdot 2 - (-3) cdot (-1)) + k(7 cdot 0 - 1 cdot (-1)) :
v1 times v2 = lang<= 2, -14 - 3, 0 + 1 rang<= = lang<= 2, -17, 1 rang<=
Simplificando:

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar v1 times v2 cdot P2P1 = (2)(3) + (-17)(3) + (1)(2) = 6 - 51 + 2 = -43 :
|v1 times v2 cdot P2P1| = 43
Como estamos interessados no valor absoluto:

Passo 9

Agora, calculamos a norma do produto vetorial |v1 times v2| = raiz2^2 + (-17)^2 + 1^2 = raiz4 + 289 + 1 = raiz294 = raiz49 times 6 = 7raiz6 :

Passo 10

Aplicando tudo na fórmula da distância:
d = 437raiz6 = 43raiz642 approx 43 times 2.4542 approx 105.3542 approx 2.51

Resposta

A distância entre as retas reversas e é aproximadamente 2,51 unidades.

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