Obtenha equações paramétricas da reta de interseção dos planos dados.
70.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de geometria analítica. A gente precisa achar as equações paramétricas da reta que resulta da interseção de dois planos:
Plano
Plano
Para isso, vamos precisar entender como encontrar a reta onde esses dois planos se cruzam.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as normais dos planos. A normal de um plano é o vetor cujas componentes são os coeficientes de , e na equação do plano.
Normal de :
Normal de :
A direção da reta de interseção é perpendicular a ambas as normais, então podemos encontrar essa direção calculando o produto vetorial das normais dos planos.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial :
Simplificando:
d = (-5)i - (3)j + (0)k = (-5, -3, 0)
Então, a direção da reta é d = (-5, -3, 0).
Passo 4
Agora, precisamos de um ponto que esteja na reta de interseção. Sabemos que z = 0 (do plano pi2). Vamos substituir z = 0 na equação do plano pi1:
3x - 5y + 2(0) = 0 Rightarrow 3x - 5y = 0
Podemos escolher um valor para x ou y para encontrar um ponto. Vamos escolher x = 5: