Obtenha equações paramétricas da reta de interseção dos planos dados.
70. pi1: 3 x-5 y+2 z=0
pi2: z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de geometria analítica. A gente precisa achar as equações paramétricas da reta que resulta da interseção de dois planos:
  • Plano pi1: 3x - 5y + 2z = 0
  • Plano pi2: z = 0
Para isso, vamos precisar entender como encontrar a reta onde esses dois planos se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as normais dos planos. A normal de um plano é o vetor cujas componentes são os coeficientes de x, y e z na equação do plano.
  • Normal de pi1: n1 = (3, -5, 2)
  • Normal de pi2: n2 = (0, 0, 1)
A direção da reta de interseção é perpendicular a ambas as normais, então podemos encontrar essa direção calculando o produto vetorial das normais dos planos.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial d = n1 times n2:
d = i & j & k 3 & -5 & 2 0 & 0 & 1 = ( (-5)(1) - (2)(0) )i - ( 3 cdot 1 - 2 cdot 0 )j + ( 3 cdot 0 - (-5) cdot 0 )k
Simplificando:
d = (-5)i - (3)j + (0)k = (-5, -3, 0)
Então, a direção da reta é d = (-5, -3, 0).

Passo 4

Agora, precisamos de um ponto que esteja na reta de interseção. Sabemos que z = 0 (do plano pi2). Vamos substituir z = 0 na equação do plano pi1:
3x - 5y + 2(0) = 0 Rightarrow 3x - 5y = 0
Podemos escolher um valor para x ou y para encontrar um ponto. Vamos escolher x = 5:
3(5) - 5y = 0 Rightarrow 15 - 5y = 0 Rightarrow y = 3
Então, um ponto na reta é (5, 3, 0).

Resposta

As equações paramétricas da reta de interseção dos planos são:
x = 5 - 5t y = 3 - 3t z = 0
Onde t é o parâmetro real.

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