Julgue a veracidade das informações abaixo, assinalando (V) para verdadeiro e (F) para falso. Justifique cada uma de suas respostas: A área do triângulo determinado pelos vetores u=(1,1,1) e v=(-2,3,-1) é 4.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta diz para verificar se a área do triângulo formado pelos vetores e é igual a 4. Vamos usar conceitos de vetores e geometria para descobrir se isso é verdadeiro ou falso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como encontrar a área de um triângulo no espaço usando vetores. A fórmula para a área A = 12 | u times v | é dada por:
Aqui, representa o produto vetorial dos vetores e , e denota o módulo (ou comprimento) do vetor resultante. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais, e o seu módulo é proporcional à área do paralelogramo formado por e . Como queremos a área do triângulo, dividimos por 2.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times v = ( u2 v3 - u3 v2,; u3 v1 - u1 v3,; u1 v2 - u2 v1 ) . Para isso, usamos a seguinte fórmula para vetores em três dimensões:
u times v = ( 1 cdot (-1) - 1 cdot 3,; 1 cdot (-2) - 1 cdot (-1),; 1 cdot 3 - 1 cdot (-2) ) = (-1 - 3,; -2 + 1,; 3 + 2) = (-4,; -1,; 5)
Substituindo os valores de e :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor resultante:
| u times v | = raiz(-4)^2 + (-1)^2 + 5^2 = raiz16 + 1 + 25 = raiz42 approx 6,48

Passo 5

Com o módulo do produto vetorial em mãos, podemos calcular a área do triângulo:
A = 12 times 6,48 approx 3,24

Resposta

(F) A área do triângulo determinado pelos vetores e não é 4, mas aproximadamente 3,24.

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