Determine uma equação do plano cujos pontos são equidistantes de P1(2,-1,1) e P2(3,1,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano onde todos os pontos desse plano estão exatamente à mesma distância dos dois pontos dados, que são e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, como ponto médio e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto médio entre M ( 2+32, -1+12, 1+52 ) = M(2.5, 0, 3) e . O ponto médio tem coordenadas que são a média das coordenadas correspondentes de e :
Esse ponto vai estar no nosso plano.

Passo 3

Agora, precisamos descobrir a direção perpendicular ao segmento que liga P1P2 = (3-2, 1-(-1), 5-1) = (1, 2, 4) e . Para isso, calculamos o vetor que vai de a :
Esse vetor será o vetor normal ( ) do nosso plano.

Passo 4

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e o ponto médio 1(x - 2.5) + 2(y - 0) + 4(z - 3) = 0 , podemos montar a equação do plano usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano é:
x + 2y + 4z = 14.5

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