Determine e rot nos seguintes casos
d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a divergência (div) e o rotacional (rot) do campo vetorial .
Divergência e rotacional são conceitos do cálculo vetorial que nos ajudam a entender o comportamento de campos vetoriais. A divergência mede a “taxa de expansão” do campo em um ponto, enquanto o rotacional mede a tendência do campo de girar em torno de um ponto.
Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de divergência e rotacional:
  • Divergência:
  • Rotacional:
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de .
Lembre-se:
Vamos identificar cada componente de :
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Agora, somamos essas derivadas para obter a divergência:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de .
A fórmula do rotacional é dada pelo determinante da matriz:
Vamos expandir esse determinante:
Agora, vamos calcular cada termo:
  1. Para o componente :
  1. Para o componente :
  1. Para o componente :
Agora, juntando todos os componentes:

Resposta

A divergência e o rotacional do campo vetorial são dados por:

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Determine e rot nos seguintes casos
a)
Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
(d)
Se dois objetos viajam pelo espaço ao longo de duas curvas diferentes é importante saber se eles vão colidir. Por exemplo, um míssil vai atingir seu alvo? Duas aeronaves vão colidir?. As curvas podem se interceptar mas precisamos saber se os objetos estarão na mesma posição no mesmo instante t.
Suponha que as trajetórias de duas partículas e sejam dadas respectivamente pelas seguintes funções vetoriais
e
b) Calcule o vetor velocidade de e o vetor aceleração de no instante da colisão.
Determine o vetor posição de uma partícula em movimento sabendo que o vetor tangente em cada ponto da sua trajetória é igual a , sendo e que no instante inicial do movimento a partícula se encontrava no ponto ( 1,1 ).