Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a divergência (div) e o rotacional (rot) do campo vetorial .
Divergência e rotacional são conceitos do cálculo vetorial que nos ajudam a entender o comportamento de campos vetoriais. A divergência mede a “taxa de expansão” do campo em um ponto, enquanto o rotacional mede a tendência do campo de girar em torno de um ponto.
Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de divergência e rotacional:
Divergência:
Rotacional:
Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de .
Lembre-se:
Vamos identificar cada componente de :
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
Derivada de em relação a :
Derivada de em relação a :
Derivada de em relação a :
Agora, somamos essas derivadas para obter a divergência:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de .
A fórmula do rotacional é dada pelo determinante da matriz:
Vamos expandir esse determinante:
Agora, vamos calcular cada termo:
Para o componente :
Para o componente :
Para o componente :
Agora, juntando todos os componentes:
Resposta
A divergência e o rotacional do campo vetorial são dados por: