Determine div F e rot F nos seguintes casos
d) F(x, y, z) = x^2 z i + y^2 x j + (y + 2 z) k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a divergência (div) e o rotacional (rot) do campo vetorial .
Divergência e rotacional são conceitos do cálculo vetorial que nos ajudam a entender o comportamento de campos vetoriais. A divergência mede a “taxa de expansão” do campo em um ponto, enquanto o rotacional mede a tendência do campo de girar em torno de um ponto.
Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de divergência e rotacional:
  • Divergência:
  • Rotacional:
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de .
Lembre-se:
Vamos identificar cada componente de :
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Agora, somamos essas derivadas para obter a divergência:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de .
A fórmula do rotacional é dada pelo determinante da matriz:
Vamos expandir esse determinante:
Agora, vamos calcular cada termo:
  1. Para o componente :
  1. Para o componente :
  1. Para o componente :
Agora, juntando todos os componentes:

Resposta

A divergência e o rotacional do campo vetorial são dados por:

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