Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
(d)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial de Euler-Cauchy do tipo:
Esse tipo de equação é comum em problemas que envolvem variáveis que escalam de forma polinomial. Para resolvê-la, vamos usar uma substituição típica para equações de Euler-Cauchy, que assume uma solução na forma de uma potência de , ou seja, .

Passo 2

Vamos supor que a solução geral da equação seja da forma:
Onde é um número que precisamos determinar. Para isso, vamos calcular as derivadas de :

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
Substituindo de volta:

Passo 4

Podemos fatorar da equação:
Como nunca é zero para , podemos igualar a parte entre colchetes a zero:
Simplificando:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática resultante:
Encontramos raízes complexas conjugadas .

Passo 6

Quando as raízes da equação característica são complexas , a solução geral da equação diferencial de Euler-Cauchy é dada por:
No nosso caso, e .

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
(a)
Calcule a inversa da Transformada de Laplace , sendo:
(b)
Determine e rot nos seguintes casos
a)
Determine e rot nos seguintes casos
d)