Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
(d)
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial de Euler-Cauchy do tipo:
Esse tipo de equação é comum em problemas que envolvem variáveis que escalam de forma polinomial. Para resolvê-la, vamos usar uma substituição típica para equações de Euler-Cauchy, que assume uma solução na forma de uma potência de
, ou seja,
.
Passo 2
Vamos supor que a solução geral da equação seja da forma:
Onde
é um número que precisamos determinar. Para isso, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
Substituindo de volta:
Passo 4
Podemos fatorar
da equação:
Como
nunca é zero para
, podemos igualar a parte entre colchetes a zero:
Simplificando:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática resultante:
Encontramos raízes complexas conjugadas
.
Passo 6
Quando as raízes da equação característica são complexas
, a solução geral da equação diferencial de Euler-Cauchy é dada por:
No nosso caso,
e
.
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
(a)
(a)
Calcule a inversa da Transformada de Laplace
, sendo:
(b)
(b)
Determine
e rot
nos seguintes casos
a)
a)
Determine
e rot
nos seguintes casos
d)
d)