Determine o vetor posição r(t) = (x(t), y(t)) de uma partícula em movimento sabendo que o vetor tangente em cada ponto da sua trajetória é igual a nabla f, sendo f(x, y) = 25 - x^2 - y^2 e que no instante inicial do movimento a partícula se encontrava no ponto ( 1,1 ).

Passo 1

Então, a questão pede para a gente encontrar o vetor posição de uma partícula que está se movendo. A informação chave aqui é que o vetor tangente em cada ponto da trajetória dessa partícula é igual ao gradiente da função . Além disso, sabemos que no início do movimento, a partícula estava no ponto .
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente relacionados a vetores tangentes e gradientes, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o vetor tangente é igual ao gradiente de . O vetor tangente a uma curva em um ponto representa a direção na qual a partícula está se movendo naquele instante. O gradiente de uma função , denotado por , aponta na direção de maior aumento da função e tem uma magnitude igual à taxa de variação máxima.
Então, a condição dada é:
Isso significa que a derivada do vetor posição em relação ao tempo é igual ao gradiente de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
Portanto:

Passo 4

Agora, sabemos que:
Isso nos dá um sistema de equações diferenciais:
Essas são equações diferenciais simples que podemos resolver separadamente.

Passo 5

Vamos resolver a equação diferencial para :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução geral é:
Onde é uma constante que determinamos usando a condição inicial.
Da mesma forma, para :
A solução é:
Onde é outra constante a ser determinada.

Passo 6

Usamos a condição inicial fornecida para encontrar e . Sabemos que no instante inicial ( ), a partícula está no ponto :

Passo 7

Substituindo as constantes encontradas nas soluções gerais:

Resposta

Portanto, o vetor posição da partícula em função do tempo é:

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