Determine o vetor posição
de uma partícula em movimento sabendo que o vetor tangente em cada ponto da sua trajetória é igual a
, sendo
e que no instante inicial do movimento a partícula se encontrava no ponto ( 1,1 ).
Passo 1
Então, a questão pede para a gente encontrar o vetor posição
de uma partícula que está se movendo. A informação chave aqui é que o vetor tangente em cada ponto da trajetória dessa partícula é igual ao gradiente da função
. Além disso, sabemos que no início do movimento, a partícula estava no ponto
.
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente relacionados a vetores tangentes e gradientes, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o vetor tangente é igual ao gradiente de
. O vetor tangente a uma curva em um ponto representa a direção na qual a partícula está se movendo naquele instante. O gradiente de uma função
, denotado por
, aponta na direção de maior aumento da função e tem uma magnitude igual à taxa de variação máxima.
Então, a condição dada é:
Isso significa que a derivada do vetor posição em relação ao tempo é igual ao gradiente de
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Portanto:
Passo 4
Agora, sabemos que:
Isso nos dá um sistema de equações diferenciais:
Essas são equações diferenciais simples que podemos resolver separadamente.
Passo 5
Vamos resolver a equação diferencial para
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução geral é:
Onde
é uma constante que determinamos usando a condição inicial.
Da mesma forma, para
:
A solução é:
Onde
é outra constante a ser determinada.
Passo 6
Usamos a condição inicial fornecida para encontrar
e
. Sabemos que no instante inicial (
), a partícula está no ponto
:
Passo 7
Substituindo as constantes encontradas nas soluções gerais:
Resposta
Portanto, o vetor posição da partícula em função do tempo é: