Determine o vetor posição de uma partícula em movimento sabendo que o vetor tangente em cada ponto da sua trajetória é igual a , sendo e que no instante inicial do movimento a partícula se encontrava no ponto ( 1,1 ).

Passo 1

Então, a questão pede para a gente encontrar o vetor posição de uma partícula que está se movendo. A informação chave aqui é que o vetor tangente em cada ponto da trajetória dessa partícula é igual ao gradiente da função . Além disso, sabemos que no início do movimento, a partícula estava no ponto .
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente relacionados a vetores tangentes e gradientes, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o vetor tangente é igual ao gradiente de . O vetor tangente a uma curva em um ponto representa a direção na qual a partícula está se movendo naquele instante. O gradiente de uma função , denotado por , aponta na direção de maior aumento da função e tem uma magnitude igual à taxa de variação máxima.
Então, a condição dada é:
Isso significa que a derivada do vetor posição em relação ao tempo é igual ao gradiente de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
Portanto:

Passo 4

Agora, sabemos que:
Isso nos dá um sistema de equações diferenciais:
Essas são equações diferenciais simples que podemos resolver separadamente.

Passo 5

Vamos resolver a equação diferencial para :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução geral é:
Onde é uma constante que determinamos usando a condição inicial.
Da mesma forma, para :
A solução é:
Onde é outra constante a ser determinada.

Passo 6

Usamos a condição inicial fornecida para encontrar e . Sabemos que no instante inicial ( ), a partícula está no ponto :

Passo 7

Substituindo as constantes encontradas nas soluções gerais:

Resposta

Portanto, o vetor posição da partícula em função do tempo é:

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Se dois objetos viajam pelo espaço ao longo de duas curvas diferentes é importante saber se eles vão colidir. Por exemplo, um míssil vai atingir seu alvo? Duas aeronaves vão colidir?. As curvas podem se interceptar mas precisamos saber se os objetos estarão na mesma posição no mesmo instante t.
Suponha que as trajetórias de duas partículas e sejam dadas respectivamente pelas seguintes funções vetoriais
e
b) Calcule o vetor velocidade de e o vetor aceleração de no instante da colisão.
Determine e rot nos seguintes casos
d)
Sendo , calcule
Determine a equação do plano que contém os pontos e e é perpendicular ao plano .