Se dois objetos viajam pelo espaço ao longo de duas curvas diferentes é importante saber se eles vão colidir. Por exemplo, um míssil vai atingir seu alvo? Duas aeronaves vão colidir?. As curvas podem se interceptar mas precisamos saber se os objetos estarão na mesma posição no mesmo instante t.
Suponha que as trajetórias de duas partículas
e
sejam dadas respectivamente pelas seguintes funções vetoriais
e
b) Calcule o vetor velocidade de
e o vetor aceleração de
no instante da colisão.
Suponha que as trajetórias de duas partículas
b) Calcule o vetor velocidade de
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos as trajetórias de duas partículas,
e
, descritas por funções vetoriais. Queremos descobrir se essas partículas vão colidir, ou seja, se elas estarão na mesma posição ao mesmo tempo. E, no momento da colisão, precisamos calcular o vetor velocidade de
e o vetor aceleração de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o instante de tempo
em que ocorre a colisão. Para isso, igualamos as funções vetoriais das duas partículas:
Isso significa que as componentes de
,
e
devem ser iguais para ambas as partículas no mesmo tempo
.
Passo 3
Vamos igualar as componentes
das duas funções:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então,
ou
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se essas soluções satisfazem as outras componentes
e
. Primeiro, para
:
Para
:
Como
,
não é uma solução válida.
Agora, para
:
Para
:
Para
:
Como todas as componentes coincidem para
, essa é a solução válida.
Passo 5
Agora que sabemos que a colisão ocorre em
, vamos calcular o vetor velocidade de
nesse instante. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o vetor aceleração de
no instante da colisão. A aceleração é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição:
Primeiro, encontramos a velocidade de
:
Agora, derivamos novamente para obter a aceleração:
Resposta
No instante da colisão (
), o vetor velocidade de
é
e o vetor aceleração de
é
.
Exercícios relacionados
Determine
e rot
nos seguintes casos
d)
d)
Determine
e rot
nos seguintes casos
a)
a)
Determine o vetor posição
de uma partícula em movimento sabendo que o vetor tangente em cada ponto da sua trajetória é igual a
, sendo
e que no instante inicial do movimento a partícula se encontrava no ponto ( 1,1 ).
Sendo
, calcule