Determine e rot nos seguintes casos
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a divergência (div) e o rotacional (rot) de um campo vetorial. Esses conceitos vêm do cálculo vetorial, que nos ajuda a entender como campos como o de força ou de velocidade se comportam no espaço. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de divergência e rotacional e aplicar as derivadas parciais direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. A fórmula para a divergência de um campo é:
No nosso caso, , então:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
Somando tudo:

Passo 3

Agora vamos calcular o rotacional de , também conhecido como curl. Ele nos diz como o campo está “girando” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional de é:
Vamos calcular cada termo:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :
Juntando tudo:

Resposta

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(d)
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(a)
Determine e rot nos seguintes casos
d)
Se dois objetos viajam pelo espaço ao longo de duas curvas diferentes é importante saber se eles vão colidir. Por exemplo, um míssil vai atingir seu alvo? Duas aeronaves vão colidir?. As curvas podem se interceptar mas precisamos saber se os objetos estarão na mesma posição no mesmo instante t.
Suponha que as trajetórias de duas partículas e sejam dadas respectivamente pelas seguintes funções vetoriais
e
b) Calcule o vetor velocidade de e o vetor aceleração de no instante da colisão.