Determine div F e rot F nos seguintes casos
a) F(x, y, z) = x^2 i - 2 j + y z k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a divergência (div) e o rotacional (rot) de um campo vetorial. Esses conceitos vêm do cálculo vetorial, que nos ajuda a entender como campos como o de força ou de velocidade se comportam no espaço. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de divergência e rotacional e aplicar as derivadas parciais direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. A fórmula para a divergência de um campo é:
No nosso caso, , então:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
Somando tudo:

Passo 3

Agora vamos calcular o rotacional de , também conhecido como curl. Ele nos diz como o campo está “girando” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional de é:
Vamos calcular cada termo:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :
Juntando tudo:

Resposta

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