Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o **divergente** e o **rotacional** do campo vetorial . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como as operações de divergente e rotacional. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o **divergente**. O divergente de um campo vetorial é uma operação que nos dá uma medida da "taxa de expansão" ou "fonte/sumidouro" do campo em cada ponto. A fórmula para calcular o divergente é:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo vetorial . Primeiro, identificamos as componentes: - - - Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação à sua respectiva variável: 1. **Para :** 2. **Para :** (Porque não depende de ) 3. **Para :**

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para obter o divergente:

Passo 5

Agora vamos calcular o **rotacional** do campo vetorial . O rotacional nos dá uma ideia da "circulação" do campo em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é dada por:

Passo 6

Vamos calcular cada uma das componentes do rotacional: 1. **Primeira componente ():** 2. **Segunda componente ():** 3. **Terceira componente ():**

Passo 7

Agora, juntando as componentes que calculamos, o rotacional fica:

Resposta

**Divergente:** **Rotacional:**

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