Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o divergente e o rotacional do campo vetorial
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como as operações de divergente e rotacional. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial
é uma operação que nos dá uma medida da “taxa de expansão” ou “fonte/sumidouro” do campo em cada ponto. A fórmula para calcular o divergente é:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo vetorial
. Primeiro, identificamos as componentes:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação à sua respectiva variável:
-
Para
: -
Para
: (Porquenão depende de ) -
Para
:
Passo 4
Agora, somamos essas derivadas para obter o divergente:
Passo 5
Agora vamos calcular o rotacional do campo vetorial
. O rotacional nos dá uma ideia da “circulação” do campo em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é dada por:
Passo 6
Vamos calcular cada uma das componentes do rotacional:
-
Primeira componente (
): -
Segunda componente (
): -
Terceira componente (
):
Passo 7
Agora, juntando as componentes que calculamos, o rotacional fica:
Resposta
Divergente:
Rotacional: