Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial F(x, y, z) = (x * y^2 * z, x * z^2, -x * y * z).
rot F =

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o divergente e o rotacional do campo vetorial . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como as operações de divergente e rotacional. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial é uma operação que nos dá uma medida da “taxa de expansão” ou “fonte/sumidouro” do campo em cada ponto. A fórmula para calcular o divergente é:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo vetorial . Primeiro, identificamos as componentes:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação à sua respectiva variável:
  1. Para :
  2. Para :
    (Porque não depende de y)
  3. Para :

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para obter o divergente:

Passo 5

Agora vamos calcular o rotacional do campo vetorial F. O rotacional nos dá uma ideia da “circulação” do campo em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é dada por:

Passo 6

Vamos calcular cada uma das componentes do rotacional:
  1. Primeira componente ( i):
  2. Segunda componente ( j):
  3. Terceira componente ( k):

Passo 7

Agora, juntando as componentes que calculamos, o rotacional fica:

Resposta

Divergente:
Rotacional:

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