Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o **divergente** e o **rotacional** do campo vetorial . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como as operações de divergente e rotacional. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o **divergente**. O divergente de um campo vetorial é uma operação que nos dá uma medida da "taxa de expansão" ou "fonte/sumidouro" do campo em cada ponto. A fórmula para calcular o divergente é:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo vetorial . Primeiro, identificamos as componentes:
-
-
-
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação à sua respectiva variável:
1. **Para :**
2. **Para :**
(Porque não depende de )
3. **Para :**
Passo 4
Agora, somamos essas derivadas para obter o divergente:
Passo 5
Agora vamos calcular o **rotacional** do campo vetorial . O rotacional nos dá uma ideia da "circulação" do campo em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é dada por:
Passo 6
Vamos calcular cada uma das componentes do rotacional:
1. **Primeira componente ( ):**
2. **Segunda componente ( ):**
3. **Terceira componente ( ):**
Passo 7
Agora, juntando as componentes que calculamos, o rotacional fica:
Resposta
**Divergente:**
**Rotacional:**
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