Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.
& ln 5+5 ln 3 & ln (a+b)+ln (a-b)-2 ln c & 13 ln (x+2)^3+12[ln x-ln (x^2+3 x+2)^2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressar algumas quantidades como um único logaritmo. Isso envolve usar propriedades dos logaritmos, como a soma, a diferença e o uso de potências. A gente vai precisar entender essas propriedades para simplificar cada expressão. Vamos resolver cada uma delas passo a passo.

Passo 2

Primeira expressão:
ln 5 + 5 ln 3
Primeiro, vamos lembrar que ln a + ln b = ln (a times b) e que k ln a = ln a^k. Então, aplicando isso:
  1. Transformar 5 ln 3 em ln 3^5: 5 ln 3 = ln 3^5
  2. Agora, somamos ln 5 + ln 3^5: ln 5 + ln 3^5 = ln (5 times 3^5)

Passo 3

Segunda expressão:
ln (a+b) + ln (a-b) - 2 ln c
Aqui, usamos as mesmas propriedades:
  1. Transformar -2 ln c em ln c^-2: -2 ln c = ln c^-2
  2. Agora, somamos os logs: ln (a+b) + ln (a-b) + ln c^-2 = ln [(a+b)(a-b)c^-2]

Passo 4

Terceira expressão:
13 ln (x+2)^3 + 12[ln x - ln (x^2+3 x+2)^2]
Vamos simplificar cada parte:
  1. Simplificar 13 ln (x+2)^3: 13 ln (x+2)^3 = ln (x+2)^3 times 13 = ln (x+2)
  2. Simplificar dentro da segunda parte: 12[ln x - ln (x^2+3 x+2)^2] = 12 ln (x(x^2+3x+2)^2) = ln (x(x^2+3x+2)^2)^12 = ln (raizxx^2+3x+2)
  3. Agora, somamos as duas partes simplificadas: ln (x+2) + ln (raizxx^2+3x+2) = ln [(x+2) times raizxx^2+3x+2]

Resposta

  1. ln 5 + 5 ln 3 = ln (5 times 3^5)
  2. ln (a+b) + ln (a-b) - 2 ln c = ln [(a+b)(a-b)c^-2]
  3. 13 ln (x+2)^3 + 12[ln x - ln (x^2+3 x+2)^2] = ln [(x+2) times raizxx^2+3x+2]

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