Determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções para a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar em quais intervalos de
temos, com certeza, soluções para a seguinte equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de quarta ordem. O que vamos precisar saber é onde os coeficientes dessa equação são contínuos, já que isso garante a existência de soluções segundo os teoremas de existência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes que multiplicam as derivadas de
:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Esses coeficientes são super importantes porque a continuidade deles nos intervalos que vamos analisar vai determinar se temos soluções para a equação.
Passo 3
Agora, vamos verificar onde cada um desses coeficientes é contínuo:
-
: É um polinômio, então é contínuo para todo valor de real. -
: A função exponencial também é contínua em todos os valores de . -
: Outro polinômio, logo, contínuo para todo .
Até aqui, todos os coeficientes são contínuos em
.
Passo 4
Mas tem um detalhe: o coeficiente de
é
. Precisamos prestar atenção onde esse coeficiente não é zero, porque se ele for zero, a equação muda de ordem e podemos ter pontos problemáticos chamados de singulares.
Resolvendo
:
Então,
e
são pontos onde a equação pode não ter soluções garantidas ou se comportar de forma diferente.
Passo 5
Com isso em mente, os intervalos onde os coeficientes são contínuos e
são:
-
: Aqui, é negativo e diferente de 1, então não é zero. -
: está entre 0 e 1, então novamente não é zero. -
: é maior que 1, então também não é zero.
Nesses intervalos, todos os coeficientes são contínuos e o coeficiente da derivada de quarta ordem não se anula, garantindo que existam soluções para a equação diferencial.
Resposta
As soluções da equação diferencial existem com certeza nos intervalos
,
e
.
Exercícios relacionados
Simplifique a expressão.
Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial
.
Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial
.
Seja
a metade superior da circunferência
, e
, com
, uma parametrização para
. A integral
, onde
é o valor da integral. Determine: