Determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções para a equação diferencial

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar em quais intervalos de temos, com certeza, soluções para a seguinte equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de quarta ordem. O que vamos precisar saber é onde os coeficientes dessa equação são contínuos, já que isso garante a existência de soluções segundo os teoremas de existência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes que multiplicam as derivadas de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
Esses coeficientes são super importantes porque a continuidade deles nos intervalos que vamos analisar vai determinar se temos soluções para a equação.

Passo 3

Agora, vamos verificar onde cada um desses coeficientes é contínuo:
  1. : É um polinômio, então é contínuo para todo valor de real.
  2. : A função exponencial também é contínua em todos os valores de .
  3. : Outro polinômio, logo, contínuo para todo .
Até aqui, todos os coeficientes são contínuos em .

Passo 4

Mas tem um detalhe: o coeficiente de é . Precisamos prestar atenção onde esse coeficiente não é zero, porque se ele for zero, a equação muda de ordem e podemos ter pontos problemáticos chamados de singulares.
Resolvendo :
Então, e são pontos onde a equação pode não ter soluções garantidas ou se comportar de forma diferente.

Passo 5

Com isso em mente, os intervalos onde os coeficientes são contínuos e são:
  1. : Aqui, é negativo e diferente de 1, então não é zero.
  2. : está entre 0 e 1, então novamente não é zero.
  3. : é maior que 1, então também não é zero.
Nesses intervalos, todos os coeficientes são contínuos e o coeficiente da derivada de quarta ordem não se anula, garantindo que existam soluções para a equação diferencial.

Resposta

As soluções da equação diferencial existem com certeza nos intervalos , e .

Exercícios relacionados

Simplifique a expressão.
Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial .
Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial .
Seja a metade superior da circunferência , e , com , uma parametrização para . A integral , onde é o valor da integral. Determine: